13. Сначала на доске было написано число 2017. Кирилл играет в игру: он может либо умножить написанное число на 2, либо вычесть из написанного числа 17. Полученное число Кирилл записывает на доске вместо прежнего. Может ли Кирилл, действуя таким образом, в конце концов получить число 2019? Если да — покажите, как. Если нет — объясните, почему.

Решение:

Рассмотрим, как меняется чётность числа при выполнении операций:

• Умножение на 2: Любое число (чётное или нечётное), умноженное на 2, становится чётным.
• Вычитание 17: Если вычесть нечётное число (17) из чётного, получится нечётное число. Если вычесть нечётное число (17) из нечётного, получится чётное число.

Начальное число — 2017 (нечётное).

Первый ход:

• Если Кирилл умножит 2017 на 2, он получит 4034 (чётное).
• Если Кирилл вычтет 17 из 2017, он получит 2000 (чётное).

После первого хода число всегда становится чётным.

Второй ход и далее:

Любая последующая операция будет производиться с чётным числом. При умножении на 2 чётное число останется чётным. При вычитании 17 из чётного получится нечётное число.

Целевое число — 2019 (нечётное).

Чтобы получить нечётное число 2019, необходимо, чтобы последняя операция была вычитанием 17 из какого-то числа. Это возможно. Однако, чтобы получить 2019, нужно, чтобы перед последним вычитанием было число \( 2019 + 17 = 2036 \), которое является чётным.

Рассмотрим все возможные состояния числа, начиная с 2017:

2017 (нечётное) → (умножить на 2) → 4034 (чётное) → (вычесть 17) → 4017 (нечётное)

2017 (нечётное) → (вычесть 17) → 2000 (чётное) → (умножить на 2) → 4000 (чётное)

2017 (нечётное) → (вычесть 17) → 2000 (чётное) → (вычесть 17) → 1983 (нечётное)

Заметим, что разность между числом, полученным после умножения на 2, и числом, полученным после вычитания 17, всегда чётна: \( 2x - (x - 17) = x + 17 \), если \( x \) — чётное, то \( x+17 \) — нечётное. Если \( x \) — нечётное, то \( x-17 \) — чётное.

Рассмотрим остаток от деления на 17:

• \( 2017 \div 17 = 118 \text{ остаток } 11 \)
• \( 2019 \div 17 = 118 \text{ остаток } 13 \)

Операция умножения на 2 меняет остаток от деления на 17 следующим образом: \( (2x) \bmod 17 \).

Операция вычитания 17 меняет остаток от деления на 17 следующим образом: \( (x - 17) \bmod 17 = x \bmod 17 \).

Начальный остаток: \( 2017 \bmod 17 = 11 \).

Целевой остаток: \( 2019 \bmod 17 = 13 \).

При вычитании 17 остаток не меняется. При умножении на 2 остаток может меняться.

Возможные остатки после умножения на 2:

• \( 11 \times 2 = 22 \rightarrow 22 \bmod 17 = 5 \)
• \( 5 \times 2 = 10 \rightarrow 10 \bmod 17 = 10 \)
• \( 10 \times 2 = 20 \rightarrow 20 \bmod 17 = 3 \)
• \( 3 \times 2 = 6 \rightarrow 6 \bmod 17 = 6 \)
• \( 6 \times 2 = 12 \rightarrow 12 \bmod 17 = 12 \)
• \( 12 \times 2 = 24 \rightarrow 24 \bmod 17 = 7 \)
• \( 7 \times 2 = 14 \rightarrow 14 \bmod 17 = 14 \)
• \( 14 \times 2 = 28 \rightarrow 28 \bmod 17 = 11 \) (цикл повторяется)

Таким образом, остаток 13 никогда не достигается.

Ответ: Нет, не может.