13 Решите уравнение (x+3)^4 + 2(x+3)^2 - 8 = 0

Решение:

Данное уравнение является биквадратным относительно выражения \( (x+3)^2 \). Введём замену переменной: пусть \( y = (x+3)^2 \). Тогда уравнение примет вид:

\( y^2 + 2y - 8 = 0 \)

Решим это квадратное уравнение относительно \( y \). Найдём дискриминант:

\( D = b^2 - 4ac = (2)^2 - 4 · 1 · (-8) = 4 + 32 = 36 \)

Так как \( D > 0 \), уравнение имеет два корня:

\( y_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-2 + · 6}{2 · 1} = \frac{4}{2} = 2 \)

\( y_2 = \frac{-b - · 6}{2 · 1} = \frac{-8}{2} = -4 \)

Теперь вернёмся к замене \( y = (x+3)^2 \).

1. \( (x+3)^2 = 2 \)
• Извлечём квадратный корень из обеих частей:
• \( x+3 = ± · · 2 \)
• Рассмотрим два случая:
• \( x + 3 = · 2 \) \(→\) \( x_1 = · 2 - 3 \)
• \( x + 3 = -· 2 \) \(→\) \( x_2 = -· 2 - 3 \)
2. \( (x+3)^2 = -4 \)
• Квадрат любого действительного числа не может быть отрицательным. Следовательно, это уравнение не имеет действительных корней.

Ответ: x₁ = · 2 - 3, x₂ = -· 2 - 3.