13. PT = TS, \angle T, \angle TPS, \angle TSP - ? 17. SQ, \angle RQT - ?

13. Решение:

В треугольнике PTS, PT = TS, значит, он равнобедренный. Углы при основании равны: \( \angle TPS = \angle TSP \).

В треугольнике PTS, \( \angle T = 130^{\circ} \).

Сумма углов в треугольнике равна 180 градусов.

\( \angle TPS + \angle TSP + \angle T = 180^{\circ} \)

\( 2 \cdot \angle TPS + 130^{\circ} = 180^{\circ} \)

\( 2 \cdot \angle TPS = 180^{\circ} - 130^{\circ} \)

\( 2 \cdot \angle TPS = 50^{\circ} \)

\( \angle TPS = \frac{50^{\circ}}{2} = 25^{\circ} \)

Значит, \( \angle TSP = 25^{\circ} \).

Ответ: \( \angle TPS = 25^{\circ}, \angle TSP = 25^{\circ} \)

17. Решение:

В треугольнике PRS, \( \angle PRS = 90^{\circ} \).

Дано: PS = 7,8, SR = 15,6.

Заметим, что SR = 2 * PS. В прямоугольном треугольнике, если катет в два раза меньше гипотенузы, то противолежащий ему угол равен 30 градусам.

Следовательно, \( \angle SPR = 30^{\circ} \).

Сумма углов в треугольнике PRS равна 180 градусов.

\( \angle RSP + \angle SPR + \angle PRS = 180^{\circ} \)

\( \angle RSP + 30^{\circ} + 90^{\circ} = 180^{\circ} \)

\( \angle RSP = 180^{\circ} - 120^{\circ} = 60^{\circ} \)

Угол \( \angle RQT \) является внешним углом для треугольника PRS при вершине S. Внешний угол равен сумме двух других углов треугольника.

\( \angle RQT = \angle SPR + \angle PRS \)

\( \angle RQT = 30^{\circ} + 90^{\circ} = 120^{\circ} \)

Ответ: \( \angle RQT = 120^{\circ} \)