13. Отрезок KH — высота, проведенная к гипотенузе MN прямоугольного треугольника KMN. Найдите HN : HM, если \( \angle M = 2\angle N \).

Решение:

В прямоугольном треугольнике KMN:

\( \angle K = 90° \)

\( \angle M + \angle N = 90° \)

По условию \( \angle M = 2\angle N \), подставим это в уравнение:

\( 2\angle N + \angle N = 90° \)

\( 3\angle N = 90° \)

\( \angle N = 30° \)

\( \angle M = 2 \cdot 30° = 60° \)

KH — высота, проведенная к гипотенузе. В прямоугольном треугольнике KMN:

• В треугольнике MHN: \( \angle MHN = 90° \), \( \angle N = 30° \), следовательно \( \angle NMH = 60° \).
• В треугольнике KHM: \( \angle KHM = 90° \), \( \angle M = 60° \), следовательно \( \angle HKM = 30° \).

Рассмотрим соотношения в прямоугольных треугольниках:

В \( \triangle KMN \):

\( MN = 2KN \) (катет, противолежащий углу 30°)

\( MN = \frac{KM}{\cos(60°)} = \frac{KM}{1/2} = 2KM \)

В \( \triangle MHN \):

\( HN = MN \cdot \cos(\angle N) = MN \cdot \cos(30°) = MN \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \)

\( HM = MN \cdot \sin(\angle N) = MN \cdot \sin(30°) = MN \cdot \frac{1}{2} \)

Нам нужно найти отношение HN : HM:

\( \frac{HN}{HM} = \frac{MN \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}}{MN \cdot \frac{1}{2}} = \frac{\sqrt{3}/2}{1/2} = \sqrt{3} \)

Ответ: \( \sqrt{3} : 1 \).