13. Один из катетов прямоугольного треугольника на 61 см больше другого, а площадь треугольника равна 63 см². Найдите его катеты.

Краткое пояснение:

Для решения этой задачи используем формулу площади прямоугольного треугольника \( S = \frac{1}{2}ab \), где \( a \) и \( b \) — катеты. Пусть один катет будет \( x \), а другой \( x + 61 \).

Пошаговое решение:

1. Шаг 1: Составляем уравнение площади: \( \frac{1}{2} x(x+61) = 63 \).
2. Шаг 2: Умножаем обе стороны на 2: \( x(x+61) = 126 \).
3. Шаг 3: Раскрываем скобки и переносим все в одну сторону: \( x^2 + 61x - 126 = 0 \).
4. Шаг 4: Решаем квадратное уравнение с помощью дискриминанта \( D = b^2 - 4ac \). Здесь \( a=1, b=61, c=-126 \).
   \( D = 61^2 - 4(1)(-126) = 3721 + 504 = 4225 \).
   \( \sqrt{D} = \sqrt{4225} = 65 \).
5. Шаг 5: Находим корни уравнения:
   \( x_1 = \frac{-61 + 65}{2} = \frac{4}{2} = 2 \).
   \( x_2 = \frac{-61 - 65}{2} = \frac{-126}{2} = -63 \).
6. Шаг 6: Поскольку длина катета не может быть отрицательной, выбираем положительный корень \( x = 2 \).
   Находим второй катет: \( x + 61 = 2 + 61 = 63 \).
7. Шаг 7: Проверяем площадь: \( S = \frac{1}{2} \times 2 \times 63 = 1 \times 63 = 63 \) см². Площадь верна.

Ответ: Катеты треугольника равны 2 см и 63 см.