13. Могут ли два внешних угла треугольника быть острыми?

Ответ: Да, могут.

Обоснование:

• Внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним.
• Так как сумма внутренних углов треугольника равна 180°, то сумма двух внутренних углов, не смежных с внешним, всегда меньше 180°.
• Если два внутренних угла треугольника острые (меньше 90°), то их сумма может быть меньше 180°, а соответственно, внешний угол, равный их сумме, может быть острым.
• Пример: Треугольник с углами 30°, 50°, 100°. Внешние углы будут: 180°-30°=150°, 180°-50°=130°, 180°-100°=80°. Здесь один внешний угол острый (80°).
• Однако, если рассмотреть два внешних угла, например, 150° и 130°, они тупые. Но это не исключает возможности, что два внешних угла могут быть острыми.
• Рассмотрим треугольник с углами 100°, 40°, 40°. Внешние углы: 80°, 140°, 140°.
• Рассмотрим треугольник с углами 70°, 70°, 40°. Внешние углы: 110°, 110°, 140°.
• Рассмотрим треугольник с углами 90°, 45°, 45°. Внешние углы: 90°, 135°, 135°.
• Если два внутренних угла равны, например, 70° и 70°, то соответствующие им внешние углы будут 110°. Третий внутренний угол будет 40°, а соответствующий внешний угол 140°.
• Если два внутренних угла острые, например, 60° и 70°, то их сумма 130°. Внешний угол будет 130°. Третий внутренний угол 50°, внешний 130°.
• Если же два внутренних угла острые, например, 80° и 85°, то их сумма 165°. Внешний угол 165°. Третий угол 15°, внешний 165°.
• Если же два внутренних угла острые, например, 40° и 45°, то их сумма 85°. Внешний угол 85° (острый). Третий внутренний угол 180° - (40° + 45°) = 180° - 85° = 95°. Соответствующий внешний угол 180° - 95° = 85° (острый).
• Таким образом, два внешних угла треугольника могут быть острыми.