13 а) Решите уравнение 4sin x cos^2 x - 1 = cos x (4sin x - 1).

Решение:

Данное уравнение:

\( 4 \sin x \cos^2 x - 1 = \cos x (4 \sin x - 1) \)

Раскроем скобки в правой части:

\( 4 \sin x \cos^2 x - 1 = 4 \sin x \cos x - \cos x \)

Перенесём все члены в левую часть:

\( 4 \sin x \cos^2 x - 4 \sin x \cos x + \cos x - 1 = 0 \)

Сгруппируем слагаемые:

\( 4 \sin x \cos x (\cos x - 1) + (\cos x - 1) = 0 \)

Вынесем общий множитель \( (\cos x - 1) \) за скобки:

\( (\cos x - 1) (4 \sin x \cos x + 1) = 0 \)

Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю:

\( \cos x - 1 = 0 \) или \( 4 \sin x \cos x + 1 = 0 \)

Случай 1: \( \cos x - 1 = 0 \)

\( \cos x = 1 \)

\( x = 2 \pi n \), где \( n \in \mathbb{Z} \)

Случай 2: \( 4 \sin x \cos x + 1 = 0 \)

Используем формулу двойного угла для синуса: \( \sin(2x) = 2 \sin x \cos x \). Следовательно, \( 4 \sin x \cos x = 2 \sin(2x) \).

\( 2 \sin(2x) + 1 = 0 \)

\( \sin(2x) = - \frac{1}{2} \)

\( 2x = - \frac{\pi}{6} + 2 \pi k \) или \( 2x = \pi - ( - \frac{\pi}{6} ) + 2 \pi k \), где \( k \in \mathbb{Z} \)

\( 2x = - \frac{\pi}{6} + 2 \pi k \) или \( 2x = \frac{7 \pi}{6} + 2 \pi k \)

Разделим обе части на 2:

\( x = - \frac{\pi}{12} + \pi k \) или \( x = \frac{7 \pi}{12} + \pi k \), где \( k \in \mathbb{Z} \)

Общее решение уравнения: \( x = 2 \pi n \), \( x = - \frac{\pi}{12} + \pi k \), \( x = \frac{7 \pi}{12} + \pi k \), где \( n, k \in \mathbb{Z} \).