13. а) Решите уравнение: 2x cos x − 8 cos x + x − 4 = 0. б) Найдите его корни, принадлежащие отрезку [−3π/2; 0].

а) Сгруппируем слагаемые и вынесем общие множители:

\(2x\cos x-8\cos x+x-4=0\);

\(2\cos x(x-4)+(x-4)=0\);

\((x-4)(2\cos x+1)=0\).

Отсюда:

1. \(x-4=0\), поэтому \(x=4\);
2. \(2\cos x+1=0\), поэтому \(\cos x=-\frac12\).

Общее решение второго уравнения:

\(x=\pm\frac{2\pi}{3}+2\pi k\), где \(k\in\mathbb Z\).

Следовательно, общее решение исходного уравнения:

\(x=4\) или \(x=\pm\frac{2\pi}{3}+2\pi k\), \(k\in\mathbb Z\).

б) На отрезке \(\left[-\frac{3\pi}{2};0\right]\) находятся корни \(-\frac{4\pi}{3}\) и \(-\frac{2\pi}{3}\). Корень \(x=4\) этому отрезку не принадлежит.

Ответ: а) \(x=4\) или \(x=\pm\frac{2\pi}{3}+2\pi k\), \(k\in\mathbb Z\); б) \(x\in\left\{-\frac{4\pi}{3},-\frac{2\pi}{3}\right\}\).