12. В треугольнике ABC AC = BC = 25, AB = 40. Найдите sinA.

Решение:

Дан равнобедренный треугольник ABC, где AC = BC = 25, AB = 40.

Проведем высоту CH из вершины C к основанию AB. В равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, является также медианой и биссектрисой. Следовательно, H — середина AB.

\( AH = HB = \frac{AB}{2} = \frac{40}{2} = 20 \)

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник ACH. По теореме Пифагора найдем высоту CH:

\[ CH^2 + AH^2 = AC^2 \]

\[ CH^2 + 20^2 = 25^2 \]

\[ CH^2 + 400 = 625 \]

\[ CH^2 = 625 - 400 = 225 \]

\[ CH = \sqrt{225} = 15 \)

Теперь найдем синус угла A в прямоугольном треугольнике ACH:

\[ \sin A = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{гипотенуза}} = \frac{CH}{AC} \]

\[ \sin A = \frac{15}{25} = \frac{3}{5} \]

Ответ: \( \frac{3}{5} \).