12. В ДАВС проведена высота св. п Часть III 13. Один из углов прямоугольного треугольника равен 60°, а сумма гипотенузы и меньшего катета равна 42 см. Найдите гипотенузу.

Решение:

13. Обозначим прямоугольный треугольник как \( △ ABC \), где \( ∠ C = 90^\circ \). Пусть \( ∠ A = 60^\circ \), тогда \( ∠ B = 30^\circ \).

Пусть \( c \) — гипотенуза, \( a \) — катет, противолежащий углу \( A \), и \( b \) — катет, противолежащий углу \( B \).

По условию, сумма гипотенузы и меньшего катета равна 42 см. Меньшим катетом в прямоугольном треугольнике является катет, противолежащий меньшему острому углу. Поскольку \( ∠ B = 30^\circ \) меньше \( ∠ A = 60^\circ \), меньшим катетом является \( b \).

Итак, имеем:

\( c + b = 42 \) см

В прямоугольном треугольнике:

\(             b = c ·                 \)

Известно, что \(                 =           \). Следовательно, \( b = c ·       \) или \( b = \frac{c}{2} \).

Подставим это в первое уравнение:

\( c + \frac{c}{2} = 42 \)

\( \frac{3c}{2} = 42 \)

\( c = 42 · \frac{2}{3} \)

\( c = 14 · 2 \)

\( c = 28 \) см

Ответ: Гипотенуза равна 28 см.