12. Расстояния от двух точек до некоторой прямой равны p и q. Найдите расстояние от середины соединяющего их отрезка до этой прямой, если точки находятся: а) по одну сторону от прямой; б) по разные стороны от прямой.

Рассмотрим направленные расстояния точек до прямой: координата середины по перпендикуляру к прямой равна среднему арифметическому направленных расстояний концов отрезка.

1. Если точки находятся по одну сторону, их направленные расстояния имеют одинаковый знак и равны p и q. Расстояние середины равно \(\frac{p+q}{2}\).
2. Если точки находятся по разные стороны, направленные расстояния имеют противоположные знаки, например p и \(-q\). Расстояние середины равно модулю их среднего: \(\frac{|p-q|}{2}\).

Ответ: а) \(\frac{p+q}{2}\); б) \(\frac{|p-q|}{2}\).