12. Постройте график функции $y=\begin{cases}x^2-10x+25, & x>4,\\ x-3, & x<4.\end{cases}$ При каких значениях $k$ прямая $y=k(x-5)+2$ имеет с графиком более одной точки?

Question

Вопрос: $Фото задания: 12. Постройте график функции $y=\begin{cases}x^2-10x+25, & x>4,\\ x-3, & x<4.\end{cases}$ При каких значениях $k$…$ Фото задания

12. Постройте график функции $y=\begin{cases}x^2-10x+25, & x>4,\\ x-3, & x<4.\end{cases}$ При каких значениях $k$ прямая $y=k(x-5)+2$ имеет с графиком более одной точки?

Accepted Answer

График состоит из части параболы $y=(x-5)^2$ при $x>4$ и части прямой $y=x-3$ при $x<4$. Точка с абсциссой $x=4$ в график не входит.

Для пересечения с параболой положим $t=x-5$. Тогда $t>-1$, а уравнение пересечения имеет вид:

$t^2=kt+2$, или $t^2-kt-2=0$.

Один корень всегда положителен, а второй становится больше $-1$ при $k>1$. При $k=1$ второй корень равен $-1$, то есть соответствует исключённой точке $x=4$.

Для пересечения с прямой:

$x-3=k(x-5)+2$.

При $k\ne1$: $x=\frac{7-5k}{1-k}$. Условие $x<4$ выполняется при \(1

Следовательно, более одной общей точки получается при всех $k>1$, а также при $k=1$.

Ответ: $k\ge1$.

12. Постройте график функции \(y=\begin{cases}x^2-10x+25, & x>4,\\ x-3, & x<4.\end{cases}\) При каких значениях \(k\) прямая \(y=k(x-5)+2\) имеет с графиком более одной точки?

Ответ: