12. Найди наименьшее значение функции y = (x – 2)² · (x + 1) – 2 на отрезке [0; 4].

Решение:

1. Находим производную функции:

   y' = \[ \frac{d}{dx} \left( (x-2)^2 (x+1) - 2 \right) \]

   Используем правило произведения: (uv)' = u'v + uv'.

   \[ u = (x-2)^2, u' = 2(x-2) \]

   \[ v = x+1, v' = 1 \]

   \[ y' = 2(x-2)(x+1) + (x-2)^2(1) \]

   \[ y' = (x-2) [2(x+1) + (x-2)] \]

   \[ y' = (x-2) [2x + 2 + x - 2] \]

   \[ y' = (x-2) (3x) \]

   \[ y' = 3x(x-2) \]

2. Находим критические точки:

   Приравниваем производную к нулю:

   \[ 3x(x-2) = 0 \]

   Получаем x = 0 и x = 2.

   Обе точки входят в отрезок [0; 4].

3. Вычисляем значения функции в критических точках и на концах отрезка:
   • При x = 0: y = (0 - 2)² · (0 + 1) – 2 = (-2)² · 1 – 2 = 4 · 1 – 2 = 4 – 2 = 2.
   • При x = 2: y = (2 - 2)² · (2 + 1) – 2 = 0² · 3 – 2 = 0 · 3 – 2 = 0 – 2 = -2.
   • При x = 4: y = (4 - 2)² · (4 + 1) – 2 = 2² · 5 – 2 = 4 · 5 – 2 = 20 – 2 = 18.
4. Определяем наименьшее значение:

   Сравниваем полученные значения: 2, -2, 18.

   Наименьшее значение равно -2.

Ответ: -2