12. Найди наибольшее значение функции $$y = \frac{x^2 + 4}{x}$$ на отрезке [-5; -1].

Привет! Давай разберемся с этой задачей вместе.

1. Исследуем функцию:

• Функция у нас $$y = \frac{x^2 + 4}{x}$$. Можно ее немного упростить, разделив каждый член числителя на $$x$$: $$y = x + \frac{4}{x}$$.
• Нам нужно найти наибольшее значение функции на отрезке $$[-5; -1]$$.

2. Находим производную:

• Производная от $$x$$ равна 1.
• Производная от $$\frac{4}{x}$$ (или $$4x^{-1}$$) равна $$-4x^{-2}$$, что то же самое, что $$-\frac{4}{x^2}$$.
• Итак, производная функции $$y'$$ равна $$1 - \frac{4}{x^2}$$.

3. Находим критические точки:

• Приравниваем производную к нулю: $$1 - \frac{4}{x^2} = 0$$.
• Отсюда $$1 = \frac{4}{x^2}$$, значит $$x^2 = 4$$.
• Корни этого уравнения: $$x = 2$$ и $$x = -2$$.

4. Анализируем точки на отрезке:

• Наш отрезок — $$[-5; -1]$$.
• Из найденных критических точек $$x=2$$ и $$x=-2$$, только $$x = -2$$ попадает на наш отрезок.

5. Вычисляем значения функции на концах отрезка и в критической точке (если она входит в отрезок):

• Крайние точки отрезка:
• При $$x = -5$$: $$y = -5 + \frac{4}{-5} = -5 - 0.8 = -5.8$$.
• При $$x = -1$$: $$y = -1 + \frac{4}{-1} = -1 - 4 = -5$$.
• Критическая точка внутри отрезка:
• При $$x = -2$$: $$y = -2 + \frac{4}{-2} = -2 - 2 = -4$$.

6. Определяем наибольшее значение:

• Сравниваем полученные значения: $$-5.8$$, $$-5$$, $$-4$$.
• Наибольшее из них — $$-4$$.

Ответ: Наибольшее значение функции равно -4.