12. Найди наибольшее значение функции y = 3 tg(x) - 3x + 31 / 4 - 1 на отрезке [-31 / 4, 31 / 4].

Решение:

1. Находим производную функции:

   Для нахождения наибольшего и наименьшего значения функции на заданном отрезке, сначала найдем производную функции:

   • \[ y' = \frac{d}{dx} \left( 3 \operatorname{tg}(x) - 3x + \frac{3\pi}{4} - 1 \right) \]
   • \[ y' = 3 \sec^2(x) - 3 \]
2. Находим критические точки:

   Приравниваем производную к нулю, чтобы найти критические точки:

   • \[ 3 \sec^2(x) - 3 = 0 \]
   • \[ 3 \sec^2(x) = 3 \]
   • \[ \sec^2(x) = 1 \]
   • \[ \frac{1}{\cos^2(x)} = 1 \]
   • \[ \cos^2(x) = 1 \]
   • \[ \cos(x) = \pm 1 \]

   Это означает, что $$x = \pi k$$, где $$k$$ — целое число.

   На отрезке $$ \[-\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{4} \]$$ критическими точками являются $$x=0$$.

3. Вычисляем значения функции на концах отрезка и в критических точках:

   Теперь подставим значения концов отрезка ($$x = -\frac{\pi}{4}$$ и $$x = \frac{\pi}{4}$$) и критической точки ($$x=0$$) в исходную функцию $$y = 3 \operatorname{tg}(x) - 3x + \frac{3\pi}{4} - 1$$.

   • При $$x = -\frac{\pi}{4}$$:
   • \[ y\left(-\frac{\pi}{4}\right) = 3 \operatorname{tg}\left(-\frac{\pi}{4}\right) - 3\left(-\frac{\pi}{4}\right) + \frac{3\pi}{4} - 1 \]
   • \[ y\left(-\frac{\pi}{4}\right) = 3(-1) + \frac{3\pi}{4} + \frac{3\pi}{4} - 1 \]
   • \[ y\left(-\frac{\pi}{4}\right) = -3 + \frac{6\pi}{4} - 1 \]
   • \[ y\left(-\frac{\pi}{4}\right) = -4 + \frac{3\pi}{2} \]
   • При $$x = 0$$:
   • \[ y(0) = 3 \operatorname{tg}(0) - 3(0) + \frac{3\pi}{4} - 1 \]
   • \[ y(0) = 3(0) - 0 + \frac{3\pi}{4} - 1 \]
   • \[ y(0) = \frac{3\pi}{4} - 1 \]
   • При $$x = \frac{\pi}{4}$$:
   • \[ y\left(\frac{\pi}{4}\right) = 3 \operatorname{tg}\left(\frac{\pi}{4}\right) - 3\left(\frac{\pi}{4}\right) + \frac{3\pi}{4} - 1 \]
   • \[ y\left(\frac{\pi}{4}\right) = 3(1) - \frac{3\pi}{4} + \frac{3\pi}{4} - 1 \]
   • \[ y\left(\frac{\pi}{4}\right) = 3 - 1 \]
   • \[ y\left(\frac{\pi}{4}\right) = 2 \]
4. Сравнение значений:

   Теперь сравним полученные значения:

   • $$y\left(-\frac{\pi}{4}\right) = -4 + \frac{3\pi}{2} ≈ -4 + \frac{3 imes 3.14}{2} ≈ -4 + 4.71 = 0.71$$
   • $$y(0) = \frac{3\pi}{4} - 1 ≈ rac{3 imes 3.14}{4} - 1 ≈ 2.355 - 1 = 1.355$$
   • $$y\left(\frac{\pi}{4}\right) = 2$$

   Наибольшее значение равно 2.

Ответ: 2