12. Кильватерная колонна кораблей (корабли идут один за другим) движется по морю со скоростью 12 узлов. От центрального корабля в колонне одновременно отплывают два катера с пакетами для командиров головного и замыкающего (последнего в колонне) кораблей. С какой скоростью двигались катера, если их скорости были одинаковыми, а время движения одного катера оказалось вдвое меньше, чем другого? Центральный корабль находится посередине между головным и замыкающим кораблем. Ответ выразить в узлах. Узел — внесистемная морская единица скорости, равная одной морской миле в час.

Решение:

Пусть \( v \) — скорость движения колонны (12 узлов).

Пусть \( v_k \) — скорость движения катеров.

Пусть \( t_1 \) и \( t_2 \) — время движения катеров, \( t_1 = 2t_2 \).

Пусть \( L \) — расстояние между головным и замыкающим кораблями.

Центральный корабль находится посередине, значит, расстояние от центрального корабля до головного и до замыкающего равно \( L/2 \).

Катер, плывущий к головному кораблю, пройдет расстояние \( L/2 \) со скоростью \( v_k \). Его время движения \( t_1 = \frac{L/2}{v_k} \).

Катер, плывущий к замыкающему кораблю, пройдет расстояние \( L/2 \) со скоростью \( v_k \). Его время движения \( t_2 = \frac{L/2}{v_k} \).

По условию, \( t_1 = 2t_2 \). Но из формул выше видно, что \( t_1 = t_2 \), если катера плывут относительно воды с одинаковой скоростью. Это означает, что скорости катеров должны быть разными относительно воды, чтобы одно время оказалось вдвое меньше другого.

Рассмотрим движение относительно воды.

Пусть \( v_{k1} \) — скорость первого катера относительно воды, \( v_{k2} \) — скорость второго катера относительно воды.

Пусть \( v_c \) — скорость течения (или скорость колонны), которая влияет на катера. Скорость колонны — 12 узлов.

Пусть \( t_2 \) — меньшее время, \( t_1 = 2t_2 \) — большее время.

Катер, который плывет к головному кораблю (вперед по движению колонны), будет иметь скорость \( v_{k1} = v_c + v_{k} \), где \( v_{k} \) — скорость катера относительно воды, которую мы ищем.

Катер, который плывет к замыкающему кораблю (против движения колонны), будет иметь скорость \( v_{k2} = v_c - v_{k} \).

Расстояние от центрального корабля до головного и замыкающего одинаковое, обозначим его \( S \). \( S = L/2 \).

Время первого катера: \( t_1 = \frac{S}{v_c + v_{k}} \)

Время второго катера: \( t_2 = \frac{S}{v_c - v_{k}} \)

По условию \( t_1 = 2t_2 \).

\( \frac{S}{v_c + v_{k}} = 2 \cdot \frac{S}{v_c - v_{k}} \)

Упрощаем, сокращая \( S \) (так как \( S \neq 0 \)):

\( \frac{1}{v_c + v_{k}} = \frac{2}{v_c - v_{k}} \)

\( v_c - v_{k} = 2(v_c + v_{k}) \)

\( v_c - v_{k} = 2v_c + 2v_{k} \)

\( -v_k - 2v_k = 2v_c - v_c \)

\( -3v_k = v_c \)

Так как скорости и время не могут быть отрицательными, это означает, что в условии подразумевается, что \( t_1 \) — время катера, который движется против течения (медленнее), а \( t_2 \) — время катера, который движется по течению (быстрее).

Тогда:

\( t_{медленный} = t_1 \) и \( t_{быстрый} = t_2 \). По условию, \( t_1 = 2t_2 \).

Скорость медленного катера (против течения): \( v_{медленный} = v_c - v_{k} \)

Скорость быстрого катера (по течению): \( v_{быстрый} = v_c + v_{k} \)

\( t_1 = \frac{S}{v_c - v_{k}} \)

\( t_2 = \frac{S}{v_c + v_{k}} \)

\( t_1 = 2t_2 \) => \( \frac{S}{v_c - v_{k}} = 2 \cdot \frac{S}{v_c + v_{k}} \)

\( \frac{1}{v_c - v_{k}} = \frac{2}{v_c + v_{k}} \)

\( v_c + v_{k} = 2(v_c - v_{k}) \)

\( v_c + v_{k} = 2v_c - 2v_{k} \)

\( v_k + 2v_k = 2v_c - v_c \)

\( 3v_k = v_c \)

Скорость колонны \( v_c = 12 \) узлов.

\( 3v_k = 12 \text{ узлов} \)

\( v_k = \frac{12}{3} \text{ узлов} = 4 \text{ узла} \)

Скорость катера относительно воды составляет 4 узла.

Ответ: 4 узла.