12. Функция y = 3x⁵ - 5x³ + 15 описывает некоторый физико-технический процесс. Найдите её наибольшее значение на отрезке [-4; 0].

Решение:

Чтобы найти наибольшее значение функции \( y = 3x^5 - 5x^3 + 15 \) на отрезке \( [-4; 0] \), нужно найти производную функции, критические точки и сравнить значения функции в критических точках и на концах отрезка.

1. Найдем производную функции: \( y' = (3x^5 - 5x^3 + 15)' = 15x^4 - 15x^2 \).
2. Приравняем производную к нулю, чтобы найти критические точки: \( 15x^4 - 15x^2 = 0 \) \( 15x^2(x^2 - 1) = 0 \). Это дает нам \( x^2 = 0 \) или \( x^2 = 1 \). Следовательно, \( x = 0 \) или \( x = ± 1 \).
3. Из найденных критических точек \( x = 0, x = 1, x = -1 \) на отрезке \( [-4; 0] \) находятся точки \( x = 0 \) и \( x = -1 \).
4. Вычислим значения функции на концах отрезка и в критических точках, попадающих в отрезок:
• При \( x = -4 \): \( y = 3(-4)^5 - 5(-4)^3 + 15 = 3(-1024) - 5(-64) + 15 = -3072 + 320 + 15 = -2737 \).
• При \( x = -1 \): \( y = 3(-1)^5 - 5(-1)^3 + 15 = 3(-1) - 5(-1) + 15 = -3 + 5 + 15 = 17 \).
• При \( x = 0 \): \( y = 3(0)^5 - 5(0)^3 + 15 = 15 \).
5. Сравним полученные значения: -2737, 17, 15. Наибольшее значение равно 17.

Ответ: Наибольшее значение функции на отрезке \( [-4; 0] \) равно 17.