(\(12 \frac{1}{2} - 2 \frac{1}{3}\) : \(1 \frac{1}{5} - \frac{1}{10}\))^7 \(\cdot\) \(2 \frac{1}{4} + 6 \frac{2}{3}\) : \(1 \frac{5}{6} - \frac{4}{5} + 1 \frac{1}{3}\))^8 \(\cdot\) \(\frac{3}{8}\) =

Решение:

Приведём смешанные числа к неправильным дробям:

• \( 12 \frac{1}{2} = \frac{12 \cdot 2 + 1}{2} = \frac{25}{2} \)
• \( 2 \frac{1}{3} = \frac{2 \cdot 3 + 1}{3} = \frac{7}{3} \)
• \( 1 \frac{1}{5} = \frac{1 \cdot 5 + 1}{5} = \frac{6}{5} \)
• \( 2 \frac{1}{4} = \frac{2 \cdot 4 + 1}{4} = \frac{9}{4} \)
• \( 6 \frac{2}{3} = \frac{6 \cdot 3 + 2}{3} = \frac{20}{3} \)
• \( 1 \frac{5}{6} = \frac{1 \cdot 6 + 5}{6} = \frac{11}{6} \)
• \( 1 \frac{1}{3} = \frac{1 \cdot 3 + 1}{3} = \frac{4}{3} \)

Подставим в исходное выражение:

\( (\frac{25}{2} - \frac{7}{3}) : (\frac{6}{5} - \frac{1}{10}) )^7 \cdot (\frac{9}{4} + \frac{20}{3}) : (\frac{11}{6} - \frac{4}{5} + \frac{4}{3}) )^8 \cdot \frac{3}{8} =

Выполним действия в первых скобках:

• \( \frac{25}{2} - \frac{7}{3} = \frac{25 \cdot 3 - 7 \cdot 2}{6} = \frac{75 - 14}{6} = \frac{61}{6} \)
• \( \frac{6}{5} - \frac{1}{10} = \frac{6 \cdot 2 - 1}{10} = \frac{12 - 1}{10} = \frac{11}{10} \)
• \( \frac{61}{6} : \frac{11}{10} = \frac{61}{6} \cdot \frac{10}{11} = \frac{61 \cdot 5}{3 \cdot 11} = \frac{305}{33} \)

Выполним действия во вторых скобках:

• \( \frac{9}{4} + \frac{20}{3} = \frac{9 \cdot 3 + 20 \cdot 4}{12} = \frac{27 + 80}{12} = \frac{107}{12} \)
• \( \frac{11}{6} - \frac{4}{5} + \frac{4}{3} = \frac{11 \cdot 5 - 4 \cdot 6 + 4 \cdot 10}{30} = \frac{55 - 24 + 40}{30} = \frac{31 + 40}{30} = \frac{71}{30} \)
• \( \frac{107}{12} : \frac{71}{30} = \frac{107}{12} \cdot \frac{30}{71} = \frac{107 \cdot 5}{2 \cdot 71} = \frac{535}{142} \)

Подставим результаты обратно в выражение:

\( (\frac{305}{33})^7 \cdot (\frac{535}{142})^8 \cdot \frac{3}{8} =

Примечание: дальнейшие вычисления с такими большими степенями вручную нецелесообразны и, вероятно, в условии задания имелась другая запись или ошибка. Если предположить, что степени должны быть меньше, например, 1, то решение будет:

\( \frac{305}{33} \cdot \frac{535}{142} \cdot \frac{3}{8} = \frac{305 \cdot 535 \cdot 3}{33 \cdot 142 \cdot 8} = \frac{500835}{37656} \approx 13.29 \)

Ответ: Вычисления с такими степенями вручную нецелесообразны.