(12 баллов) Площадь треугольника ABC равна 1 см², длины сторон треугольника удовлетворяют неравенствам BC ≤ AC ≤ AB, причём AC ≤ √2 см. Найти длины биссектрис треугольника.

Обозначим стороны треугольника так: \(a=BC\), \(b=CA\), \(c=AB\). Пусть \(S=1\), причём \(a\le b\le c\) и \(b\le\sqrt2\).

Для биссектрис справедлива формула \(l_a^2=bc\left(1-\dfrac{a^2}{(b+c)^2}\right)\). При фиксированной площади и условиях \(a\le b\le c\), \(b\le\sqrt2\), экстремальный случай достигается при \(a=b=c=\sqrt[4]{3}\): действительно, для равностороннего треугольника \(S=\dfrac{\sqrt3}{4}a^2=1\), поэтому \(a^2=\dfrac4{\sqrt3}\), а \(a=\dfrac2{\sqrt[4]3}\). Однако это значение превышает \(\sqrt2\), поэтому равносторонний случай невозможен.

Граница допустимости достигается при \(b=\sqrt2\) и \(a=b\). Из условия площади \(S=\dfrac12 ab\sin C=1\) получаем \(\sin C=1\), значит, угол \(C=90^\circ\), а \(a=b=\sqrt2\). Тогда по теореме Пифагора \(c=2\).

Итак, треугольник прямоугольный с катетами \(\sqrt2\), \(\sqrt2\) и гипотенузой \(2\). Биссектриса прямого угла:

\[l_c=\frac{2ab\cos\frac C2}{a+b}=\frac{2\cdot\sqrt2\cdot\sqrt2\cdot\frac{\sqrt2}{2}}{2\sqrt2}=1\text{ см}.\]

Биссектрисы острых углов равны по симметрии. Для одной из них:

\[l_a^2=bc\left(1-\frac{a^2}{(b+c)^2}\right)=\sqrt2\cdot2\left(1-\frac2{(\sqrt2+2)^2}\right)=4-2\sqrt2,\]

следовательно, \(l_a=l_b=\sqrt{4-2\sqrt2}\) см.

Ответ: \(\sqrt{4-2\sqrt2}\) см, \(\sqrt{4-2\sqrt2}\) см, \(1\) см.