11 Тема «Прямоугольник и его разбиение» На рисунке прямоугольник разбит на равные квадраты, часть из которых закрашена. а) Какая часть площади прямоугольника закрашена? б) Сравни ответ с числом 2/3. в) Сколько еще квадратов надо закрасить, чтобы 2/3 площади прямоугольника оказались закрашенными?

Решение:

На рисунке прямоугольник разбит на 4 ряда по 8 квадратов, всего \( 4 \times 8 = 32 \) квадрата.

Закрашено 13 квадратов.

1. а) Какая часть площади прямоугольника закрашена?

   Часть закрашенной площади равна отношению закрашенных квадратов к общему количеству квадратов: \( \frac{13}{32} \).

2. б) Сравни ответ с числом \( \frac{2}{3} \).

   Чтобы сравнить дроби \( \frac{13}{32} \) и \( \frac{2}{3} \), приведём их к общему знаменателю. Общий знаменатель равен \( 32 \times 3 = 96 \).

   \( \frac{13}{32} = \frac{13 \times 3}{32 \times 3} = \frac{39}{96} \)

   \( \frac{2}{3} = \frac{2 \times 32}{3 \times 32} = \frac{64}{96} \)

   Так как \( 39 < 64 \), то \( \frac{13}{32} < \frac{2}{3} \).

3. в) Сколько еще квадратов надо закрасить, чтобы \( \frac{2}{3} \) площади прямоугольника оказались закрашенными?

   Нужно закрасить \( \frac{2}{3} \) площади, что составляет \( \frac{64}{96} \) от общего числа квадратов. В долях от общего числа это \( \frac{2}{3} \) от 32 квадратов.

   Количество квадратов, которое должно быть закрашено: \( 32 \times \frac{2}{3} = \frac{64}{3} \approx 21.33 \).

   Так как количество квадратов должно быть целым, и мы хотим, чтобы \( \frac{2}{3} \) площади оказались закрашены, то нужно стремиться к этому значению. В задачах такого типа обычно подразумевается, что значение дроби достигается при закрашивании целого числа квадратов. Если бы мы закрасили 21 квадрат, то это было бы \( \frac{21}{32} \). Если 22 квадрата, то \( \frac{22}{32} \).

   Если условие задачи подразумевает, что ровно \( \frac{2}{3} \) площади должны быть закрашены, и прямоугольник разбит на 32 квадрата, то точное значение \( \frac{2}{3} \) не может быть достигнуто, так как 32 не делится на 3 без остатка. Однако, если интерпретировать задание как "сколько еще квадратов нужно закрасить, чтобы доля закрашенной площади была близка к \( \frac{2}{3} \)" или "сколько квадратов нужно закрасить, чтобы достичь значения, близкого к \( \frac{2}{3} \) от общего числа квадратов", то мы можем рассчитать, сколько квадратов нужно ДОБАВИТЬ.

   Необходимо, чтобы было закрашено \( \frac{2}{3} \) от 32 квадратов. Это примерно 21.33 квадрата. Так как у нас уже закрашено 13 квадратов, то нужно добавить ещё \( 21.33 - 13 \approx 8.33 \) квадрата.

   Если считать, что нужно закрасить как минимум \( \frac{2}{3} \) площади, то нужно закрасить 22 квадрата. Тогда необходимо дозакрасить \( 22 - 13 = 9 \) квадратов.

   Если считать, что требуется ровно \( \frac{2}{3} \) площади, и при этом подразумевается, что это возможно, то возможно, что сетка на рисунке не является полной, или есть ошибка в условии. Исходя из рисунка, 32 квадрата. \( 32 \times \frac{2}{3} = \frac{64}{3} \approx 21.33 \).

   Доля закрашенных квадратов сейчас: \( \frac{13}{32} \).

   Желаемая доля: \( \frac{2}{3} \).

   Количество квадратов, которое нужно иметь закрашенным: \( 32 \times \frac{2}{3} = \frac{64}{3} \).

   Если округлить до ближайшего целого, то \( 21 \) квадрат. Тогда нужно добавить \( 21 - 13 = 8 \) квадратов.

   Если округлить вверх (чтобы доля была НЕ МЕНЬШЕ \( \frac{2}{3} \)), то 22 квадрата. Тогда нужно добавить \( 22 - 13 = 9 \) квадратов.

   Учитывая, что обычно такие задачи предполагают точное значение, и 32 не делится на 3, есть некоторая неопределенность. Однако, если предположить, что задача корректна, и вопрос "сколько еще квадратов НАДО закрасить" подразумевает достижение целевой доли, то мы исходим из \( \frac{64}{3} \) квадратов.

   Если предположить, что сетка прямоугольника на самом деле имеет размер, кратный 3, и то, что видно на рисунке, — это только часть, или есть некоторая погрешность в интерпретации, то в стандартных задачах такого типа, если возможно, мы бы стремились к точному значению.

   Наиболее вероятный сценарий: задача предполагает, что мы должны закрасить такое количество квадратов, чтобы общее число закрашенных квадратов было максимально близко к \( \frac{2}{3} \) от общего числа. \( \frac{64}{3} \approx 21.33 \). Ближайшее целое — 21. Значит, нужно закрасить \( 21 - 13 = 8 \) квадратов.

   Однако, если условие "чтобы \( \frac{2}{3} \) площади оказались закрашенными" трактовать как \( \ge \frac{2}{3} \), то нужно 22 квадрата, т.е. \( 22-13=9 \) квадратов.

   Если задача имеет однозначный ответ, то, возможно, есть подвох в том, что \( 32 \) квадратов — это не вся площадь, или что \( \frac{2}{3} \) — это желаемая, а не достижимая точно доля.

   Будем исходить из того, что нужно закрасить 21 квадрат (наиболее близкое целое к \( \frac{64}{3} \)).

   Количество квадратов, которое нужно иметь закрашенным: \( \lfloor 32 \times \frac{2}{3} \rfloor = \lfloor \frac{64}{3} \rfloor = 21 \).

   Сейчас закрашено 13 квадратов. Нужно закрасить ещё: \( 21 - 13 = 8 \) квадратов.

Ответ: а) \( \frac{13}{32} \); б) \( \frac{13}{32} < \frac{2}{3} \); в) 8 квадратов.