119. Изобразить схематически график функции и указать её область определения и множество значений; выяснить, является ли функция ограниченной сверху (снизу): 1) y = x⁶; 2) y = x⁵; 3) y = x⁷; 4) y = x⁻²; 5) y = x⁻³; 6) y = x⁶.

Question

Вопрос:

Фото задания: 119. Изобразить схематически график функции и указать её область определения и множество значений; выяснить, является ли…

119. Изобразить схематически график функции и указать её область определения и множество значений; выяснить, является ли функция ограниченной сверху (снизу): 1) y = x⁶; 2) y = x⁵; 3) y = x⁷; 4) y = x⁻²; 5) y = x⁻³; 6) y = x⁶.

Accepted Answer

Для степенной функции область определения и множество значений зависят от показателя степени и его чётности.

\(y=x^6\). График — чётная функция, симметричная относительно оси \(Oy\); проходит через точки \((0,0)\), \((1,1)\), \((-1,1)\).
Область определения: \(D(y)=(-\infty;+\infty)\).
Множество значений: \(E(y)=[0;+\infty)\).
Функция ограничена снизу: \(y\ge 0\). Сверху не ограничена.
\(y=x^5\). График — нечётная возрастающая функция, симметричная относительно начала координат; проходит через \((-1,-1)\), \((0,0)\), \((1,1)\).
Область определения: \(D(y)=(-\infty;+\infty)\).
Множество значений: \(E(y)=(-\infty;+\infty)\).
Функция не ограничена ни сверху, ни снизу.
\(y=x^7\). График — нечётная возрастающая функция, симметричная относительно начала координат; проходит через \((-1,-1)\), \((0,0)\), \((1,1)\). Вблизи начала координат график более плоский, чем у \(y=x^5\).
Область определения: \(D(y)=(-\infty;+\infty)\).
Множество значений: \(E(y)=(-\infty;+\infty)\).
Функция не ограничена ни сверху, ни снизу.
\(y=x^{-2}=\dfrac1{x^2}\). График — гипербола с ветвями в I и II координатных четвертях; ось \(Oy\) является осью симметрии. Асимптоты: \(x=0\) и \(y=0\).
Область определения: \(D(y)=(-\infty;0)\cup(0;+\infty)\).
Множество значений: \(E(y)=(0;+\infty)\).
Функция ограничена снизу: \(y>0\). Сверху не ограничена.
\(y=x^{-3}=\dfrac1{x^3}\). График — гипербола с ветвями в I и III координатных четвертях; симметричен относительно начала координат. Асимптоты: \(x=0\) и \(y=0\).
Область определения: \(D(y)=(-\infty;0)\cup(0;+\infty)\).
Множество значений: \(E(y)=(-\infty;0)\cup(0;+\infty)\).
Функция не ограничена ни сверху, ни снизу.
\(y=x^6\). Это та же функция, что и в пункте 1: график симметричен относительно оси \(Oy\), имеет вершину в точке \((0,0)\).
Область определения: \(D(y)=(-\infty;+\infty)\).
Множество значений: \(E(y)=[0;+\infty)\).
Функция ограничена снизу, но не ограничена сверху.

Ответ: 1) ограничена снизу; 2) не ограничена; 3) не ограничена; 4) ограничена снизу; 5) не ограничена; 6) ограничена снизу.