1186. Решите систему уравнений: a) { x/5 = 1 - y/15; 2x - 5y = 0; б) { 3m + 5n = 1; m/4 + 3n/5 = 1; в) { 4x - 3y = 1; (2x + 1)/6 = (9 - 5y)/8; г) { 3q = 4p - 7; (1 - 3q)/4 = (4 - 2p)/3; 1187. Найдите решение системы уравнений:

Привет! Давай разберемся с этими системами уравнений.

1186. Решите систему уравнений:

а)

• Дана система:

\[ \begin{cases} \frac{x}{5} = 1 - \frac{y}{15} \\ 2x - 5y = 0 \end{cases} \]

• Из второго уравнения выразим x:

\[ 2x = 5y \\ x = \frac{5y}{2} \]

• Подставим это значение x в первое уравнение:

\[ \frac{\frac{5y}{2}}{5} = 1 - \frac{y}{15} \\ \frac{5y}{10} = 1 - \frac{y}{15} \\ \frac{y}{2} = 1 - \frac{y}{15} \]

• Приведем к общему знаменателю 30:

\[ \frac{15y}{30} = \frac{30}{30} - \frac{2y}{30} \\ 15y = 30 - 2y \\ 17y = 30 \\ y = \frac{30}{17} \]

• Теперь найдем x:

\[ x = \frac{5}{2} y = \frac{5}{2} \times \frac{30}{17} = \frac{5 \times 15}{17} = \frac{75}{17} \]

Ответ а): $$x = \frac{75}{17}, y = \frac{30}{17}$$

б)

• Дана система:

\[ \begin{cases} 3m + 5n = 1 \\ \frac{m}{4} + \frac{3n}{5} = 1 \end{cases} \]

• Умножим второе уравнение на 20 (общий знаменатель для 4 и 5), чтобы избавиться от дробей:

\[ 20 \left( \frac{m}{4} + \frac{3n}{5} \right) = 20 \times 1 \\ 5m + 12n = 20 \]

• Теперь система выглядит так:

\[ \begin{cases} 3m + 5n = 1 \\ 5m + 12n = 20 \end{cases} \]

• Умножим первое уравнение на 5, а второе на 3, чтобы привести коэффициенты при m к одному значению:

\[ \begin{cases} 15m + 25n = 5 \\ 15m + 36n = 60 \end{cases} \]

• Вычтем первое уравнение из второго:

\[ (15m + 36n) - (15m + 25n) = 60 - 5 \\ 11n = 55 \\ n = 5 \]

• Подставим n=5 в первое уравнение:

\[ 3m + 5(5) = 1 \\ 3m + 25 = 1 \\ 3m = -24 \\ m = -8 \]

Ответ б): $$m = -8, n = 5$$

в)

• Дана система:

\[ \begin{cases} 4x - 3y = 1 \\ \frac{2x+1}{6} = \frac{9-5y}{8} \end{cases} \]

• Упростим второе уравнение. Умножим обе части на 24 (общий знаменатель для 6 и 8):

\[ 24 \times \frac{2x+1}{6} = 24 \times \frac{9-5y}{8} \\ 4(2x+1) = 3(9-5y) \\ 8x + 4 = 27 - 15y \\ 8x + 15y = 23 \]

• Теперь система:

\[ \begin{cases} 4x - 3y = 1 \\ 8x + 15y = 23 \end{cases} \]

• Умножим первое уравнение на 2:

\[ 8x - 6y = 2 \]

• Вычтем это новое уравнение из второго уравнения системы:

\[ (8x + 15y) - (8x - 6y) = 23 - 2 \\ 21y = 21 \\ y = 1 \]

• Подставим y=1 в первое уравнение:

\[ 4x - 3(1) = 1 \\ 4x - 3 = 1 \\ 4x = 4 \\ x = 1 \]

Ответ в): $$x = 1, y = 1$$

г)

• Дана система:

\[ \begin{cases} 3q = 4p - 7 \\ \frac{1-3q}{4} = \frac{4-2p}{3} \end{cases} \]

• Умножим второе уравнение на 12 (общий знаменатель для 4 и 3):

\[ 12 \times \frac{1-3q}{4} = 12 \times \frac{4-2p}{3} \\ 3(1-3q) = 4(4-2p) \\ 3 - 9q = 16 - 8p \\ 8p - 9q = 13 \]

• Теперь система:

\[ \begin{cases} 3q = 4p - 7 \\ 8p - 9q = 13 \end{cases} \]

• Из первого уравнения выразим q:

\[ q = \frac{4p-7}{3} \]

• Подставим это значение q во второе уравнение:

\[ 8p - 9\left(\frac{4p-7}{3}\right) = 13 \\ 8p - 3(4p-7) = 13 \\ 8p - 12p + 21 = 13 \\ -4p = 13 - 21 \\ -4p = -8 \\ p = 2 \]

• Теперь найдем q:

\[ q = \frac{4(2)-7}{3} = \frac{8-7}{3} = \frac{1}{3} \]

Ответ г): $$p = 2, q = \frac{1}{3}$$