1138. Solve the following system of equations: \(\frac{x}{2} + \frac{y}{3} + \frac{z}{4} = 36 \frac{1}{2}\) \(\frac{x}{3} + \frac{y}{4} + \frac{z}{5} = 27\) \(\frac{x}{5} + \frac{y}{6} + \frac{z}{7} = 18\)

Решение:

Перепишем систему уравнений, избавившись от смешанных дробей и приведя дроби к общему знаменателю:

1) \( \frac{x}{2} + \frac{y}{3} + \frac{z}{4} = \frac{73}{2} \)

Умножим первое уравнение на 12:

\( 6x + 4y + 3z = 12 \cdot \frac{73}{2} \) \( \Rightarrow \) \( 6x + 4y + 3z = 6 \cdot 73 = 438 \) (1)

2) \( \frac{x}{3} + \frac{y}{4} + \frac{z}{5} = 27 \)

Умножим второе уравнение на 60:

\( 20x + 15y + 12z = 27 \cdot 60 = 1620 \) (2)

3) \( \frac{x}{5} + \frac{y}{6} + \frac{z}{7} = 18 \)

Умножим третье уравнение на 210:

\( 42x + 35y + 30z = 18 \cdot 210 = 3780 \) (3)

Теперь решим полученную систему линейных уравнений:

Из (1) выразим \( z \): \( 3z = 438 - 6x - 4y \) \( \Rightarrow \) \( z = 146 - 2x - \frac{4}{3}y \)

Подставим \( z \) в (2):

\( 20x + 15y + 12(146 - 2x - \frac{4}{3}y) = 1620 \)

\( 20x + 15y + 1752 - 24x - 16y = 1620 \)

\( -4x - y = 1620 - 1752 \)

\( -4x - y = -132 \) \( \Rightarrow \) \( 4x + y = 132 \) \( \Rightarrow \) \( y = 132 - 4x \) (4)

Подставим \( z \) в (3):

\( 42x + 35y + 30(146 - 2x - \frac{4}{3}y) = 3780 \)

\( 42x + 35y + 4380 - 60x - 40y = 3780 \)

\( -18x - 5y = 3780 - 4380 \)

\( -18x - 5y = -600 \) \( \Rightarrow \) \( 18x + 5y = 600 \) (5)

Подставим \( y \) из (4) в (5):

\( 18x + 5(132 - 4x) = 600 \)

\( 18x + 660 - 20x = 600 \)

\( -2x = 600 - 660 \)

\( -2x = -60 \) \( \Rightarrow \) \( x = 30 \)

Найдем \( y \) из (4):

\( y = 132 - 4 \cdot 30 = 132 - 120 = 12 \)

Найдем \( z \) из \( z = 146 - 2x - \frac{4}{3}y \):

\( z = 146 - 2 \cdot 30 - \frac{4}{3} \cdot 12 = 146 - 60 - 16 = 70 \)

Проверим первое уравнение: \( \frac{30}{2} + \frac{12}{3} + \frac{70}{4} = 15 + 4 + 17.5 = 36.5 = 36 \frac{1}{2} \). Верно.

Проверим второе уравнение: \( \frac{30}{3} + \frac{12}{4} + \frac{70}{5} = 10 + 3 + 14 = 27 \). Верно.

Проверим третье уравнение: \( \frac{30}{5} + \frac{12}{6} + \frac{70}{7} = 6 + 2 + 10 = 18 \). Верно.

Ответ: x = 30, y = 12, z = 70.