1114. С помощью теорем синусов и косинусов решите треугольники ABC, если: а) ∠A = 60°, ∠B = 40°, c = 14; б) ∠A = 30°, ∠C = 75°, b = 4,5; в) ∠A = 80°, a = 16, b = 10; г) ∠B = 45°, ∠C = 70°, a = 24,6; д) ∠A = 60°, a = 10, b = 7; е) a = 6,3, b = 6,3, ∠C = 54°; ж) b = 32, c = 45, ∠A = 87°; з) a = 14, b = 18, c = 20.

Используем теоремы синусов и косинусов. Значения углов и сторон округлены до десятых.

1. а)

   Находим третий угол: \(C=180^\circ-60^\circ-40^\circ=80^\circ\).

   По теореме синусов:

   \(a=\dfrac{14\sin60^\circ}{\sin80^\circ}\approx12,3\),

   \(b=\dfrac{14\sin40^\circ}{\sin80^\circ}\approx9,1\).

   Ответ: \(A=60^\circ, B=40^\circ, C=80^\circ;\ a\approx12,3, b\approx9,1, c=14\).

2. б)

   \(B=180^\circ-30^\circ-75^\circ=75^\circ\).

   \(a=\dfrac{4,5\sin30^\circ}{\sin75^\circ}\approx2,3\),

   \(c=\dfrac{4,5\sin75^\circ}{\sin75^\circ}=4,5\).

   Ответ: \(A=30^\circ, B=75^\circ, C=75^\circ;\ a\approx2,3, b=4,5, c=4,5\).

3. в)

   По теореме синусов:

   \(\sin B=\dfrac{b\sin A}{a}=\dfrac{10\sin80^\circ}{16}\approx0,6157\).

   Отсюда \(B\approx38,0^\circ\), а \(C=180^\circ-80^\circ-38,0^\circ\approx62,0^\circ\).

   \(c=\dfrac{16\sin62,0^\circ}{\sin80^\circ}\approx14,4\).

   Ответ: \(A=80^\circ, B\approx38,0^\circ, C\approx62,0^\circ;\ a=16, b=10, c\approx14,4\).

4. г)

   \(A=180^\circ-45^\circ-70^\circ=65^\circ\).

   \(b=\dfrac{24,6\sin45^\circ}{\sin65^\circ}\approx19,2\),

   \(c=\dfrac{24,6\sin70^\circ}{\sin65^\circ}\approx25,5\).

   Ответ: \(A=65^\circ, B=45^\circ, C=70^\circ;\ a=24,6, b\approx19,2, c\approx25,5\).

5. д)

   \(\sin B=\dfrac{7\sin60^\circ}{10}\approx0,6062\), поэтому \(B\approx37,3^\circ\).

   \(C=180^\circ-60^\circ-37,3^\circ\approx82,7^\circ\).

   \(c=\dfrac{10\sin82,7^\circ}{\sin60^\circ}\approx11,4\).

   Ответ: \(A=60^\circ, B\approx37,3^\circ, C\approx82,7^\circ;\ a=10, b=7, c\approx11,4\).

6. е)

   Так как \(a=b\), то \(A=B\). Поэтому:

   \(A=B=\dfrac{180^\circ-54^\circ}{2}=63^\circ\).

   \(c=\dfrac{6,3\sin54^\circ}{\sin63^\circ}\approx5,7\).

   Ответ: \(A=B=63^\circ, C=54^\circ;\ a=b=6,3, c\approx5,7\).

7. ж)

   По теореме косинусов:

   \(a^2=b^2+c^2-2bc\cos A\),

   \(a=\sqrt{32^2+45^2-2\cdot32\cdot45\cos87^\circ}\approx53,8\).

   По теореме синусов:

   \(\sin B=\dfrac{32\sin87^\circ}{53,8}\), откуда \(B\approx36,4^\circ\).

   \(C=180^\circ-87^\circ-36,4^\circ\approx56,6^\circ\).

   Ответ: \(A=87^\circ, B\approx36,4^\circ, C\approx56,6^\circ;\ a\approx53,8, b=32, c=45\).

8. з)

   По теореме косинусов:

   \(\cos A=\dfrac{b^2+c^2-a^2}{2bc}=\dfrac{18^2+20^2-14^2}{2\cdot18\cdot20}=0,7333\), поэтому \(A\approx42,8^\circ\).

   \(\cos B=\dfrac{a^2+c^2-b^2}{2ac}=\dfrac{14^2+20^2-18^2}{2\cdot14\cdot20}=0,4857\), поэтому \(B\approx60,9^\circ\).

   \(C=180^\circ-42,8^\circ-60,9^\circ\approx76,3^\circ\).

   Ответ: \(A\approx42,8^\circ, B\approx60,9^\circ, C\approx76,3^\circ;\ a=14, b=18, c=20\).