1100. Решите систему уравнений: a) { 40x+3y=10, 20x-7y=5; б) { 5x-2y=1, 15x-3y=-3; в) { 33a+42b=10, 9a+14b=4; г) { 13x-12y=14, 11x-4=18y; д) { 10x-9y=8, 21y+15x=0,5; е) { 9y+8z=-2, 5z-4y=11.

Решение систем уравнений:

а)

\( \begin{cases} 40x+3y=10 \\ 20x-7y=5 \end{cases} \)

Умножим второе уравнение на 2:

\( \begin{cases} 40x+3y=10 \\ 40x-14y=10 \end{cases} \)

Вычтем второе уравнение из первого:

\( (40x+3y) - (40x-14y) = 10 - 10 \)

\( 17y = 0 \)

\( y = 0 \)

Подставим \( y = 0 \) во второе уравнение:

\( 20x - 7(0) = 5 \)

\( 20x = 5 \)

\( x = \frac{5}{20} = \frac{1}{4} \)

Ответ: \( x = \frac{1}{4}, y = 0 \).

б)

\( \begin{cases} 5x-2y=1 \\ 15x-3y=-3 \end{cases} \)

Умножим первое уравнение на 3:

\( \begin{cases} 15x-6y=3 \\ 15x-3y=-3 \end{cases} \)

Вычтем второе уравнение из первого:

\( (15x-6y) - (15x-3y) = 3 - (-3) \)

\( -3y = 6 \)

\( y = -2 \)

Подставим \( y = -2 \) в первое уравнение:

\( 5x - 2(-2) = 1 \)

\( 5x + 4 = 1 \)

\( 5x = -3 \)

\( x = -\frac{3}{5} \)

Ответ: \( x = -\frac{3}{5}, y = -2 \).

в)

\( \begin{cases} 33a+42b=10 \\ 9a+14b=4 \end{cases} \)

Умножим второе уравнение на 3:

\( \begin{cases} 33a+42b=10 \\ 27a+42b=12 \end{cases} \)

Вычтем второе уравнение из первого:

\( (33a+42b) - (27a+42b) = 10 - 12 \)

\( 6a = -2 \)

\( a = -\frac{2}{6} = -\frac{1}{3} \)

Подставим \( a = -\frac{1}{3} \) во второе уравнение:

\( 9(-\frac{1}{3}) + 14b = 4 \)

\( -3 + 14b = 4 \)

\( 14b = 7 \)

\( b = \frac{7}{14} = \frac{1}{2} \)

Ответ: \( a = -\frac{1}{3}, b = \frac{1}{2} \).

г)

\( \begin{cases} 13x-12y=14 \\ 11x-4y=18 \end{cases} \)

Умножим второе уравнение на 3:

\( \begin{cases} 13x-12y=14 \\ 33x-12y=54 \end{cases} \)

Вычтем первое уравнение из второго:

\( (33x-12y) - (13x-12y) = 54 - 14 \)

\( 20x = 40 \)

\( x = 2 \)

Подставим \( x = 2 \) в первое уравнение:

\( 13(2) - 12y = 14 \)

\( 26 - 12y = 14 \)

\( -12y = 14 - 26 \)

\( -12y = -12 \)

\( y = 1 \)

Ответ: \( x = 2, y = 1 \).

д)

\( \begin{cases} 10x-9y=8 \\ 21y+15x=0.5 \end{cases} \)

Перепишем второе уравнение:

\( \begin{cases} 10x-9y=8 \\ 15x+21y=0.5 \end{cases} \)

Умножим первое уравнение на 3, второе на 2:

\( \begin{cases} 30x-27y=24 \\ 30x+42y=1 \end{cases} \)

Вычтем первое уравнение из второго:

\( (30x+42y) - (30x-27y) = 1 - 24 \)

\( 69y = -23 \)

\( y = -\frac{23}{69} = -\frac{1}{3} \)

Подставим \( y = -\frac{1}{3} \) в первое уравнение:

\( 10x - 9(-\frac{1}{3}) = 8 \)

\( 10x + 3 = 8 \)

\( 10x = 5 \)

\( x = \frac{5}{10} = \frac{1}{2} \)

Ответ: \( x = \frac{1}{2}, y = -\frac{1}{3} \).

е)

\( \begin{cases} 9y+8z=-2 \\ 5z-4y=11 \end{cases} \)

Перепишем второе уравнение:

\( \begin{cases} 9y+8z=-2 \\ -4y+5z=11 \end{cases} \)

Умножим первое уравнение на 2:

\( \begin{cases} 18y+16z=-4 \\ -4y+5z=11 \end{cases} \)

Умножим первое уравнение на 4, второе на 9:

\( \begin{cases} 72y+64z=-16 \\ -36y+45z=99 \end{cases} \)

Умножим второе уравнение на 2:

\( \begin{cases} 9y+8z=-2 \\ -8y+10z=22 \end{cases} \)

Сложим уравнения:

\( (9y+8z) + (-8y+10z) = -2 + 22 \)

\( y + 18z = 20 \)

Из второго уравнения выразим \( y \):

\( 4y = 5z - 11 \)

\( y = \frac{5z-11}{4} \)

Подставим в первое уравнение:

\( 9(\frac{5z-11}{4}) + 8z = -2 \)

\( \frac{45z - 99}{4} + 8z = -2 \)

Умножим всё на 4:

\( 45z - 99 + 32z = -8 \)

\( 77z = 99 - 8 \)

\( 77z = 91 \)

\( z = \frac{91}{77} = \frac{7 \cdot 13}{7 \cdot 11} = \frac{13}{11} \)

Теперь найдём \( y \):

\( y = \frac{5(\frac{13}{11})-11}{4} = \frac{\frac{65}{11}-11}{4} = \frac{\frac{65-121}{11}}{4} = \frac{-56}{11 \cdot 4} = \frac{-14}{11} \)

Ответ: \( y = -\frac{14}{11}, z = \frac{13}{11} \).