11. В треугольнике ABC AC = BC = 13, AB = 10. AE — высота. Найдите AE.

Решение:

Так как AC = BC, треугольник ABC — равнобедренный. Высота AE в равнобедренном треугольце, проведенная к основанию, является также медианой. Следовательно, E — середина AB.

• \[ AE =  AB \]
• \[ AE =   10 = 5 \]

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник AEC. По теореме Пифагора:

• \[ AC^2 = AE^2 + EC^2 \]
• \[ 13^2 = x^2 + 5^2 \]
• \[ 169 = x^2 + 25 \]
• \[ x^2 = 169 - 25 \]
• \[ x^2 = 144 \]
• \[ x = \sqrt{144} = 12 \]

Ответ: 12