11. В прямоугольнике диагональ равна 10, а угол между ней и одной из сторон равен 60°, длина этой стороны равна 5. Найдите площадь прямоугольника.

Решение:

Пусть \( ABCD \) — прямоугольник. Диагональ \( AC = 10 \). Угол между диагональю и стороной \( AB \) равен \( \angle CAB = 60° \). Сторона \( AB = 5 \).

В прямоугольном треугольнике \( \triangle ABC \) имеем:

• \( \cos(\angle CAB) = \frac{AB}{AC} \)
• \( \cos(60°) = \frac{5}{10} \)
• \( \frac{1}{2} = \frac{1}{2} \)

Теперь найдём сторону \( BC \) по теореме Пифагора:

\( AC^2 = AB^2 + BC^2 \)

\( 10^2 = 5^2 + BC^2 \)

\( 100 = 25 + BC^2 \)

\( BC^2 = 100 - 25 = 75 \)

\( BC = \sqrt{75} = \sqrt{25 · 3} = 5\sqrt{3} \).

Площадь прямоугольника равна произведению смежных сторон:

\( S = AB · BC = 5 · 5\sqrt{3} = 25\sqrt{3} \).

Ответ: 25\(\sqrt{3}\).