11. В прямоугольнике ABCD биссектриса угла D делит сторону ВС на отрезки ВК и СК. Найдите длину стороны DC, если ВК = 6 см, а периметр прямоугольника равен 48 см.

Решение:

Пусть \( AD \) и \( BC \) — основания прямоугольника, \( AB \) и \( DC \) — боковые стороны. Биссектриса угла \( D \) делит сторону \( BC \) на отрезки \( BK = 6 \) см и \( CK \).

В прямоугольнике \( \angle D = 90^{\circ} \). Биссектриса \( DK \) делит угол \( D \) пополам, значит, \( \angle CDK = \angle KDA = 45^{\circ} \).

Рассмотрим треугольник \( CDK \). \( \angle DCK = 90^{\circ} \) (угол прямоугольника), \( \angle CDK = 45^{\circ} \). Следовательно, \( \angle CKD = 180^{\circ} - 90^{\circ} - 45^{\circ} = 45^{\circ} \).

Так как \( \angle CDK = \angle CKD = 45^{\circ} \), треугольник \( CDK \) — равнобедренный, и \( CK = DC \).

В прямоугольнике \( AB = DC \) и \( BC = AD \). Также \( BC = BK + CK \).

Периметр прямоугольника \( P = 2(DC + BC) = 48 \) см.

\( DC + BC = \frac{48}{2} = 24 \) см.

Подставим \( BC = BK + CK = 6 + CK \) и \( DC = CK \):

\( CK + (6 + CK) = 24 \)

\( 2CK + 6 = 24 \)

\( 2CK = 18 \)

\( CK = 9 \) см.

Так как \( DC = CK \), то \( DC = 9 \) см.

Ответ: 9 см