Контрольные задания > 11. Тип 10 № 1696 В классе учится 20 человек, из них 13 человек посещают исторический кружок, а 10 — химический. Выберите утверждения, которые верны при указанных условиях, и запишите в ответе их номера без пробелов, запятых или других дополнительных символов. 1) Каждый учащийся этого класса посещает оба кружка. 2) Найдутся хотя бы двое учащихся этого класса, кто посещает оба кружка. 3) Каждый, кто посещает исторический кружок, обязательно посещает и химический кружок. 4) Меньше 11 человек посещают и исторический кружок, и химический кружок. В ответе запишите номера выбранных утверждений.
Вопрос:

11. Тип 10 № 1696 В классе учится 20 человек, из них 13 человек посещают исторический кружок, а 10 — химический. Выберите утверждения, которые верны при указанных условиях, и запишите в ответе их номера без пробелов, запятых или других дополнительных символов. 1) Каждый учащийся этого класса посещает оба кружка. 2) Найдутся хотя бы двое учащихся этого класса, кто посещает оба кружка. 3) Каждый, кто посещает исторический кружок, обязательно посещает и химический кружок. 4) Меньше 11 человек посещают и исторический кружок, и химический кружок. В ответе запишите номера выбранных утверждений.

Смотреть решения всех заданий с листа

Ответ:

Краткое пояснение:

Краткое пояснение: Для решения задачи определим количество учеников, посещающих только исторический кружок, только химический, и оба кружка, используя информацию о общем количестве учеников и посещающих каждый кружок.

Пошаговое решение:

Всего учеников в классе: 20.

Посещают исторический кружок: 13.

Посещают химический кружок: 10.

Пусть $$H$$ - множество учеников, посещающих исторический кружок, а $$X$$ - множество учеников, посещающих химический кружок.

Тогда $$|H| = 13$$ и $$|X| = 10$$. Общее число учеников $$|U| = 20$$.

Формула включения-исключения: $$|H ext{ ∪ } X| = |H| + |X| - |H ext{ ∩ } X|$$.

В худшем случае, когда все ученики посещают хотя бы один кружок, $$|H ext{ ∪ } X| = 20$$.

В этом случае: $$20 = 13 + 10 - |H ext{ ∩ } X|$$.

$$20 = 23 - |H ext{ ∩ } X|$$.

$$|H ext{ ∩ } X| = 23 - 20 = 3$$.

Таким образом, минимум 3 ученика посещают оба кружка.

Теперь проанализируем утверждения:

  1. Утверждение 1: 'Каждый учащийся этого класса посещает оба кружка.' Это неверно, так как мы знаем, что минимум 3 человека посещают оба кружка, а общее количество учеников 20. Если бы каждый посещал оба, то $$|H ext{ ∩ } X|$$ было бы 20, что невозможно, так как $$|H|=13$$ и $$|X|=10$$.
  2. Утверждение 2: 'Найдутся хотя бы двое учащихся этого класса, кто посещает оба кружка.' Это верно, так как мы определили, что минимум 3 ученика посещают оба кружка.
  3. Утверждение 3: 'Каждый, кто посещает исторический кружок, обязательно посещает и химический кружок.' Это неверно. Если бы это было так, то $$|H ext{ ∩ } X| = |H| = 13$$. Но $$|X|=10$$, что означает, что не все посещающие исторический кружок могут посещать химический.
  4. Утверждение 4: 'Меньше 11 человек посещают и исторический кружок, и химический кружок.' Это верно. Мы нашли, что минимум 3 человека посещают оба кружка, а максимум может быть 10 (если все, кто посещает химический, также посещают исторический). Оба значения (3 и 10) меньше 11.

Ответ: 24

ГДЗ по фото 📸