11. Решите уравнение: \(\frac{2x^2-3}{x-2} + \frac{4x-3}{x-2} = 0\)

Решение:

1. Заметим, что знаменатели дробей одинаковы. Для того чтобы сложить дроби, нужно сложить их числители, а знаменатель оставить прежним: \[ \frac{2x^2-3 + 4x-3}{x-2} = 0 \]
2. Упростим числитель: \[ \frac{2x^2+4x-6}{x-2} = 0 \]
3. Дробь равна нулю, когда её числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю.
4. Приравняем числитель к нулю: \[ 2x^2+4x-6 = 0 \]
5. Разделим всё уравнение на 2: \[ x^2+2x-3 = 0 \]
6. Решим квадратное уравнение. Можно использовать теорему Виета: сумма корней равна \(-2\), а произведение равно \(-3\). Корнями являются \( x_1 = -3 \) и \( x_2 = 1 \).
7. Проверим условие, что знаменатель не равен нулю. \( x-2 \neq 0 \Rightarrow x \neq 2 \).
8. Оба найденных корня \( -3 \) и \( 1 \) не равны \( 2 \), следовательно, они являются решениями уравнения.

Ответ: x₁ = -3, x₂ = 1.