11. Кондитер испек 35 рогаликов. Известно, что 10 рогаликов он полил глазурью и 20 рогаликов посыпал сахарной пудрой. Некоторые рогалики могут быть одновременно и с глазурью, и с сахарной пудрой. Выберите утверждения, которые верны при указанных условиях, и запишите в ответе их номера без пробелов, запятых или других дополнительных символов. Ответ запишите без пробелов, запятых или других дополнительных символов. 1. Найдется 12 рогаликов, на которых и глазурь, и сахарная пудра. 2. Найдется 5 рогаликов, на которых нет ни глазури, ни сахарной пудры. 3. Рогаликов, на которых есть и глазурь, и сахарная пудра, не может оказаться меньше 14. 4. Рогаликов, на которых нет ни глазури, ни сахарной пудры, не может оказаться больше 15.

Решение:

Пусть G — множество рогаликов с глазурью, P — множество рогаликов с сахарной пудрой. Всего рогаликов — 35.

Дано: \( |G| = 10 \), \( |P| = 20 \). Общее число рогаликов \( |Total| = 35 \).

Используем принцип включения-исключения:

\( |G \cup P| = |G| + |P| - |G \cap P| \)

\( |G ∪ P| \) — это число рогаликов, которые имеют хотя бы одну из добавок (глазурь или пудру).

\( |G ∩ P| \) — это число рогаликов, которые имеют обе добавки.

1. Найдется 12 рогаликов, на которых и глазурь, и сахарная пудра.

Минимальное количество рогаликов с обеими добавками \( |G \cap P|_{min} \) равно: \( |G| + |P| - |Total| = 10 + 20 - 35 = -5 \). Так как количество не может быть отрицательным, минимальное значение равно 0. Максимальное значение \( |G ∩ P|_{max} \) равно минимуму из \( |G| \) и \( |P| \), то есть \( u0 \).

Значит, \( 0 ≤ |G ∩ P| ≤ 10 \). Утверждение 1 (12 рогаликов) неверно, так как 12 больше максимального возможного значения 10.

2. Найдется 5 рогаликов, на которых нет ни глазури, ни сахарной пудры.

Число рогаликов без добавок равно \( |Total| - |G ∪ P| \).

\( |G ∪ P| = |G| + |P| - |G ∩ P| = 10 + 20 - |G ∩ P| = 30 - |G ∩ P| \).

Число рогаликов без добавок = \( 35 - (30 - |G ∩ P|) = 5 + |G ∩ P| \).

Так как \( 0 ≤ |G ∩ P| ≤ 10 \), то число рогаликов без добавок может быть от \( 5 + 0 = 5 \) до \( 5 + 10 = 15 \).

Утверждение 2 (5 рогаликов) верно, так как 5 — это минимально возможное число рогаликов без добавок.

3. Рогаликов, на которых есть и глазурь, и сахарная пудра, не может оказаться меньше 14.

Мы уже установили, что \( 0 ≤ |G ∩ P| ≤ 10 \). Утверждение 3 (меньше 14) неверно, так как 0 < 14. Утверждение, что не может оказаться меньше 14, верно, но само число 14 не является минимальным.

4. Рогаликов, на которых нет ни глазури, ни сахарной пудры, не может оказаться больше 15.

Мы выяснили, что число рогаликов без добавок равно \( 5 + |G ∩ P| \). Максимальное значение достигается при максимальном \( |G ∩ P| \), то есть \( |G ∩ P| = 10 \). Тогда число рогаликов без добавок = \( 5 + 10 = 15 \). Утверждение 4 (не может оказаться больше 15) верно, так как 15 — это максимально возможное число рогаликов без добавок.

Верные утверждения: 2 и 4.

Ответ: 24