11. Докажите, что значение выражения (c-3)² / c²+4 + 6c / c²+4 + 3+2c² / c²+4 не зависит от значения переменной с.

Решение:

Чтобы доказать, что значение выражения не зависит от переменной \( c \), нужно упростить это выражение и показать, что \( c \) в итоговой формуле отсутствует.

Все дроби имеют общий знаменатель \( c^2+4 \), поэтому мы можем сложить числители:

\[ \frac{(c-3)^2}{c^2+4} + \frac{6c}{c^2+4} + \frac{3+2c^2}{c^2+4} = \frac{(c-3)^2 + 6c + (3+2c^2)}{c^2+4} \]

Теперь раскроем квадрат разности в числителе:

\( (c-3)^2 = c^2 - 2 x c x 3 + 3^2 = c^2 - 6c + 9 \)

Подставим это обратно в числитель:

\[ (c^2 - 6c + 9) + 6c + (3+2c^2) \]

Сгруппируем подобные слагаемые:

\[ (c^2 + 2c^2) + (-6c + 6c) + (9 + 3) \]

\[ 3c^2 + 0c + 12 \]

\[ 3c^2 + 12 \]

Теперь подставим полученный числитель обратно в дробь:

\[ \frac{3c^2 + 12}{c^2+4} \]

Вынесем общий множитель 3 из числителя:

\[ \frac{3(c^2 + 4)}{c^2+4} \]

Так как \( c^2+4 \) всегда больше нуля (так как \( c^2 ≥ 0 \)), мы можем сократить \( (c^2+4) \) на \( (c^2+4) \).

\[ 3 \]

Значение выражения равно 3, что не зависит от переменной \( c \).

Ответ: Значение выражения равно 3 и не зависит от переменной с.