11. \(\begin{vmatrix}\) a & x & x \\ x & b & x \\ x & x & c \(\end{vmatrix}\)

Решение:

Для вычисления определителя 3-го порядка используем правило треугольника или разложение по строке/столбцу. Разложим по первой строке:

\[ \begin{vmatrix} a & x & x \\ x & b & x \\ x & x & c \end{vmatrix} = a \cdot \begin{vmatrix} b & x \\ x & c \end{vmatrix} - x \cdot \begin{vmatrix} x & x \\ x & c \end{vmatrix} + x \cdot \begin{vmatrix} x & b \\ x & x \end{vmatrix} \]

Вычислим определители 2-го порядка:

\[ \begin{vmatrix} b & x \\ x & c \end{vmatrix} = b \cdot c - x \cdot x = bc - x^2 \]

\[ \begin{vmatrix} x & x \\ x & c \end{vmatrix} = x \cdot c - x \cdot x = xc - x^2 \]

\[ \begin{vmatrix} x & b \\ x & x \end{vmatrix} = x \cdot x - b \cdot x = x^2 - bx \]

Подставим полученные значения обратно:

\[ a(bc - x^2) - x(xc - x^2) + x(x^2 - bx) \]

\[ abc - ax^2 - x^2c + x^3 + x^3 - bx^2 \]

\[ abc - ax^2 - bx^2 - cx^2 + 2x^3 \]

Сгруппируем члены с \( x^3 \) и \( x^2 \):

\[ 2x^3 - (a + b + c)x^2 + abc \]

Ответ: \( 2x^3 - (a + b + c)x^2 + abc \).