11.3 На рисунке изображён график функции вида f(x) = ax² + bx + c, числа a, b и c — целые. Найдите значение f(-10).

Решение:

График функции \( f(x) = ax^2 + bx + c \) — парабола. По графику определим координаты нескольких точек, лежащих на параболе:

• Вершина параболы находится в точке \( (1, -1) \).
• Парабола проходит через точку \( (0, 0) \).
• Парабола проходит через точку \( (2, 0) \).

Используем эти точки для составления системы уравнений:

1. Из точки \( (0, 0) \) следует: \( a(0)^2 + b(0) + c = 0 \), откуда \( c = 0 \).
2. Из точки \( (1, -1) \) следует: \( a(1)^2 + b(1) + 0 = -1 \), то есть \( a + b = -1 \).
3. Из точки \( (2, 0) \) следует: \( a(2)^2 + b(2) + 0 = 0 \), то есть \( 4a + 2b = 0 \), или \( 2a + b = 0 \).

Решим систему из двух уравнений:

• \( a + b = -1 \)
• \( 2a + b = 0 \)

Вычтем первое уравнение из второго: \( (2a + b) - (a + b) = 0 - (-1) \), что даёт \( a = 1 \).

Подставим \( a = 1 \) в первое уравнение: \( 1 + b = -1 \), откуда \( b = -2 \).

Таким образом, функция имеет вид \( f(x) = 1x^2 - 2x + 0 \), или \( f(x) = x^2 - 2x \).

Теперь найдём значение \( f(-10) \):

\[ f(-10) = (-10)^2 - 2(-10) = 100 + 20 = 120 \]

Ответ: 120