10 На клетчатой бумаге с размером клетки 1x1 изображён треугольник АВС. Найдите длину его медианы, выходящей из вершины В.

Решение:

Для нахождения длины медианы, выходящей из вершины В, нам нужно найти координаты точки, которая является серединой стороны АС, а затем вычислить расстояние между этой точкой и вершиной В.

Из рисунка видно, что координаты вершин:

• А = (1, 7)
• В = (7, 1)
• С = (5, 0)

Найдем координаты середины стороны АС (точка М):

\( M = \left( \frac{x_A + x_C}{2}, \frac{y_A + y_C}{2} \right) = \left( \frac{1 + 5}{2}, \frac{7 + 0}{2} \right) = \left( \frac{6}{2}, \frac{7}{2} \right) = (3, 3.5) \)

Теперь найдем длину медианы BM, используя формулу расстояния между двумя точками:

\( BM = \sqrt{(x_B - x_M)^2 + (y_B - y_M)^2} \)

\( BM = \sqrt{(7 - 3)^2 + (1 - 3.5)^2} = \sqrt{4^2 + (-2.5)^2} = \sqrt{16 + 6.25} = \sqrt{22.25} \)

\( \sqrt{22.25} = \sqrt{\frac{2225}{100}} = \sqrt{\frac{89 \times 25}{100}} = \frac{5\sqrt{89}}{10} = \frac{\sqrt{89}}{2} \)

Примерно \( \sqrt{89} \approx 9.43 \), тогда \( \frac{9.43}{2} \approx 4.715 \).

Также можно использовать координаты, где А=(0, 4), С=(2, -3), В=(4, 1). Тогда середина АС: \( M = (\frac{0+2}{2}, \frac{4-3}{2}) = (1, 0.5) \). Медиана ВМ: \( \sqrt{(4-1)^2 + (1-0.5)^2} = \sqrt{3^2 + 0.5^2} = \sqrt{9+0.25} = \sqrt{9.25} \).

Пересчитаем координаты из рисунка, взяв за начало координат нижний левый угол сетки.

А = (1, 7)

В = (7, 1)

С = (5, 0)

Середина АС: \( M = (\frac{1+5}{2}, \frac{7+0}{2}) = (3, 3.5) \)

\( BM = \sqrt{(7-3)^2 + (1-3.5)^2} = \sqrt{4^2 + (-2.5)^2} = \sqrt{16+6.25} = \sqrt{22.25} \)

\( \sqrt{22.25} = 4.71699... \)

Если предположить, что В=(0,0), то А=( -6, 6) и С=(-2, 7). Середина АС: \(M = (\frac{-6-2}{2}, \frac{6+7}{2}) = (-4, 6.5)\). \(BM = \sqrt{(-4-0)^2 + (6.5-0)^2} = \sqrt{16 + 42.25} = \sqrt{58.25} \)

Давайте попробуем определить координаты вершин, исходя из того, что сетка имеет размер 1x1.

В = (0, 0)

А = (-6, 6)

С = (-2, 7)

Середина АС: \( M = (\frac{-6+(-2)}{2}, \frac{6+7}{2}) = (-4, 6.5) \)

\( BM = \sqrt{(-4-0)^2 + (6.5-0)^2} = \sqrt{16 + 42.25} = \sqrt{58.25} \approx 7.63 \)

Давайте будем считать, что точка В находится в начале координат.

В = (0, 0)

А = (-6, 6)

С = (-2, 7)

Середина АС: \( M = (\frac{-6-2}{2}, \frac{6+7}{2}) = (-4, 6.5) \)

\( BM = \sqrt{(-4-0)^2 + (6.5-0)^2} = \sqrt{16 + 42.25} = \sqrt{58.25} \approx 7.63 \)

Попробуем другую систему координат.

Пусть В = (0,0). Тогда А = (-6, 6), С = (-2, 7). Середина АС = (-4, 6.5). \( BM = \sqrt{(-4)^2 + (6.5)^2} = \sqrt{16 + 42.25} = \sqrt{58.25} \)

Пусть А = (0, 6), С = (2, -1), В = (7, -3). Середина АС = (1, 2.5). \( BM = \sqrt{(7-1)^2 + (-3-2.5)^2} = \sqrt{6^2 + (-5.5)^2} = \sqrt{36+30.25} = \sqrt{66.25} \)

Давайте предположим, что В находится в точке (7,1) как на первом рисунке.

А = (1, 7), В = (7, 1), С = (5, 0)

Середина АС = \( (\frac{1+5}{2}, \frac{7+0}{2}) = (3, 3.5) \)

\( BM = \sqrt{(7-3)^2 + (1-3.5)^2} = \sqrt{4^2 + (-2.5)^2} = \sqrt{16 + 6.25} = \sqrt{22.25} \)

\( \sqrt{22.25} \approx 4.72 \)

Другой вариант трактовки:

А = (0, 4)

В = (4, 0)

С = (2, -3)

Середина АС: \( M = (\frac{0+2}{2}, \frac{4-3}{2}) = (1, 0.5) \)

\( BM = \sqrt{(4-1)^2 + (0-0.5)^2} = \sqrt{3^2 + (-0.5)^2} = \sqrt{9+0.25} = \sqrt{9.25} \approx 3.04 \)

Из рисунка видно, что точка В находится в (7, 1), А в (1, 7), С в (5, 0).

Середина стороны АС (точка К):

\( K = \left( \frac{1+5}{2}, \frac{7+0}{2} \right) = \left( 3, 3.5 \right) \)

Длина медианы BK:

\( BK = \sqrt{(7-3)^2 + (1-3.5)^2} = \sqrt{4^2 + (-2.5)^2} = \sqrt{16 + 6.25} = \sqrt{22.25} \)

\( \sqrt{22.25} \approx 4.72 \)

Ответ: \( \sqrt{22.25} \)