1050. Для швейной мастерской купили 90 м шерстяной и несколько метров шёлковой материи. Вся покупка стоила 30 000 руб., причём шерстяная материя стоила в 3 раза больше, чем шёлковая. Сколько метров шёлковой материи было куплено, если 1 м шерстяной материи стоил на 100 руб. дороже 1 м шёлковой?

Решение:

Обозначим:

• \(x\) — цена 1 метра шёлковой материи (руб.).
• \(y\) — количество метров шёлковой материи.

Из условия задачи известно:

• Стоимость 90 м шерстяной материи: \( 90 \times (x + 100) \) руб.
• Стоимость \(y\) метров шёлковой материи: \( y \times x \) руб.
• Общая стоимость покупки: \( 30000 \) руб.
• Шерстяная материя стоила в 3 раза больше, чем шёлковая.

Составим уравнения:

1. \( 90(x + 100) + yx = 30000 \)
2. \( 90(x + 100) = 3x \)

Решим второе уравнение:

\( 90x + 9000 = 3x \)
\( 90x - 3x = -9000 \)
\( 87x = -9000 \)
\( x = -9000 / 87 \)

Получается отрицательное значение цены, что невозможно. Проверим условие: «шерстяная материя стоила в 3 раза больше, чем шёлковая». Это означает, что общая стоимость шерстяной материи в 3 раза больше общей стоимости шёлковой.

Скорректируем уравнения:

1. \( 90 \times (x + 100) + y \times x = 30000 \)
2. \( 90 \times (x + 100) = 3 \times (y \times x) \)

Подставим второе уравнение в первое:

\( 3yx + yx = 30000 \)
\( 4yx = 30000 \)
\( yx = 7500 \)

Теперь подставим \( yx = 7500 \) во второе уравнение:

\( 90(x + 100) = 3 \times 7500 \)
\( 90x + 9000 = 22500 \)
\( 90x = 22500 - 9000 \)
\( 90x = 13500 \)
\( x = 13500 / 90 \)
\( x = 150 \) руб. (цена 1 м шёлковой материи).

Теперь найдём \(y\) из уравнения \( yx = 7500 \):

\( y \times 150 = 7500 \)
\( y = 7500 / 150 \)
\( y = 50 \) метров.

Проверим цену шерстяной материи: \( x + 100 = 150 + 100 = 250 \) руб. за 1 м.

Стоимость шерстяной материи: \( 90 \times 250 = 22500 \) руб.

Стоимость шёлковой материи: \( 50 \times 150 = 7500 \) руб.

Общая стоимость: \( 22500 + 7500 = 30000 \) руб.

Стоимость шерстяной материи (22500) в 3 раза больше стоимости шёлковой (7500). Условие выполняется.

Ответ: 50 метров.