103. В треугольниках ABC и A₁B₁C₁ AB = A₁B₁, AC = A₁C₁, ∠A = ∠A₁. На сторонах AB и A₁B₁ отмечены точки P и P₁ так, что AP = A₁P₁. Докажите, что △BPC = △B₁P₁C₁.

Question

Вопрос:

Фото задания: 103. В треугольниках ABC и A₁B₁C₁ AB = A₁B₁, AC = A₁C₁, ∠A = ∠A₁. На сторонах AB и A₁B₁ отмечены точки P и P₁ так, что AP =…

103. В треугольниках ABC и A₁B₁C₁ AB = A₁B₁, AC = A₁C₁, ∠A = ∠A₁. На сторонах AB и A₁B₁ отмечены точки P и P₁ так, что AP = A₁P₁. Докажите, что △BPC = △B₁P₁C₁.

Accepted Answer

Рассмотрим треугольники \(\triangle APC\) и \(\triangle A_1P_1C_1\). Имеем: \(AP=A_1P_1\), \(AC=A_1C_1\), \(\angle PAC=\angle P_1A_1C_1\), поскольку точки \(P\) и \(P_1\) лежат на сторонах \(AB\) и \(A_1B_1\). Следовательно, \(\triangle APC=\triangle A_1P_1C_1\) по двум сторонам и углу между ними. Поэтому \(PC=P_1C_1\).

Кроме того, \(BP=AB-AP=A_1B_1-A_1P_1=B_1P_1\). По условию \(BC=B_1C_1\), так как треугольники \(ABC\) и \(A_1B_1C_1\) равны по двум сторонам и углу между ними.

Таким образом, в треугольниках \(BPC\) и \(B_1P_1C_1\) соответственно равны три стороны: \(BP=B_1P_1\), \(PC=P_1C_1\), \(BC=B_1C_1\). Следовательно, \(\triangle BPC=\triangle B_1P_1C_1\) по трём сторонам.

Ответ: \(\triangle BPC=\triangle B_1P_1C_1\).