1003) Найти площадь фигуры, ограниченной прямой х = b, осью Ох и графиком функции у = f (x):

Решение:

Для нахождения площади фигуры, ограниченной осью \( Ox \), прямой \( x=b \) и функцией \( y=f(x) \), необходимо найти точки пересечения функции с осью \( Ox \) (если они есть в пределах заданного интервала) и вычислить соответствующий определённый интеграл.

Варианты:

1. \( b = 2, f(x) = 5x - x^2, 2 \le x \le 5 \)

Сначала найдём корни функции \( f(x) = 5x - x^2 \):

\( 5x - x^2 = 0 \Rightarrow x(5 - x) = 0 \Rightarrow x = 0 \) или \( x = 5 \).

Так как интервал задан от \( 2 \) до \( 5 \), и \( x=0 \) не входит в него, а \( x=5 \) является верхней границей, будем интегрировать от \( 2 \) до \( 5 \). При \( x=2 \), \( f(2) = 5(2) - 2^2 = 10 - 4 = 6 \), что больше нуля, значит функция положительна на интервале \( [2, 5) \).

\( S = \int_{2}^{5} (5x - x^2) dx = \left[ \frac{5x^2}{2} - \frac{x^3}{3} \right]_{2}^{5} \)

\( = (\frac{5 \cdot 5^2}{2} - \frac{5^3}{3}) - (\frac{5 \cdot 2^2}{2} - \frac{2^3}{3}) = (\frac{125}{2} - \frac{125}{3}) - (\frac{20}{2} - \frac{8}{3}) \)

\( = (\frac{375 - 250}{6}) - (10 - \frac{8}{3}) = \frac{125}{6} - (\frac{30 - 8}{3}) = \frac{125}{6} - \frac{22}{3} = \frac{125 - 44}{6} = \frac{81}{6} = \frac{27}{2} = 13.5 \)

2. \( b = 3, f(x) = x^2 + 2x \)

Найдем корни \( f(x) = x^2 + 2x \):

\( x^2 + 2x = 0 \Rightarrow x(x + 2) = 0 \Rightarrow x = 0 \) или \( x = -2 \).

Предполагая, что \( b \) — это верхний предел интегрирования, и учитывая, что \( f(x) \) положительна для \( x > 0 \), будем интегрировать от \( 0 \) до \( b=3 \).

\( S = \int_{0}^{3} (x^2 + 2x) dx = \left[ \frac{x^3}{3} + x^2 \right]_{0}^{3} \)

\( = (\frac{3^3}{3} + 3^2) - (\frac{0^3}{3} + 0^2) = (\frac{27}{3} + 9) - 0 = 9 + 9 = 18 \)

3. \( b = 1, f(x) = e^x - 1 \)

Найдем корни \( f(x) = e^x - 1 \):

\( e^x - 1 = 0 \Rightarrow e^x = 1 \Rightarrow x = 0 \).

Так как \( f(x) \) положительна при \( x > 0 \), интегрируем от \( 0 \) до \( b=1 \).

\( S = \int_{0}^{1} (e^x - 1) dx = \left[ e^x - x \right]_{0}^{1} \)

\( = (e^1 - 1) - (e^0 - 0) = (e - 1) - (1 - 0) = e - 1 - 1 = e - 2 \approx 2.718 - 2 = 0.718 \)

4. \( b = 2, f(x) = 1 - \frac{1}{x} \)

Найдем корни \( f(x) = 1 - \frac{1}{x} \):

\( 1 - \frac{1}{x} = 0 \Rightarrow 1 = \frac{1}{x} \Rightarrow x = 1 \).

Интегрируем от \( x=1 \) до \( b=2 \).

\( S = \int_{1}^{2} (1 - \frac{1}{x}) dx = \left[ x - \ln|x| \right]_{1}^{2} \)

\( = (2 - \ln|2|) - (1 - \ln|1|) = (2 - \ln 2) - (1 - 0) = 2 - \ln 2 - 1 = 1 - \ln 2 \approx 1 - 0.693 = 0.307 \)