10. Высота равнобедренной трапеции, проведённая из конца её меньшего основания, делит большее основание на отрезки длиной 4 и 7. Найдите меньшее основание трапеции.

Решение:

В равнобедренной трапеции, если опустить высоту из верхнего основания на нижнее, то большее основание делится на три части: два равных отрезка по краям (каждый равен \( \frac{a-b}{2} \)) и средний отрезок, равный меньшему основанию (b).

По условию, высота делит большее основание на отрезки длиной 4 и 7. Это означает, что одно из этих чисел является меньшим основанием (b), а другое — длиной одного из прилежащих отрезков (\( \frac{a-b}{2} \)).

Рассмотрим два случая:

1. Меньшее основание \( b = 7 \) и прилежащий отрезок \( \frac{a-b}{2} = 4 \). Тогда \( a - 7 = 2 \times 4 \), \( a - 7 = 8 \), \( a = 15 \). В этом случае меньшее основание равно 7.
2. Меньшее основание \( b = 4 \) и прилежащий отрезок \( \frac{a-b}{2} = 7 \). Тогда \( a - 4 = 2 \times 7 \), \( a - 4 = 14 \), \( a = 18 \). В этом случае меньшее основание равно 4.

Обычно в таких задачах подразумевается, что два числа, на которые делится большее основание, это меньшее основание и один из прилежащих отрезков. Поскольку прилежащие отрезки равны, то меньшее основание равно одному из значений, а прилежащие отрезки равны другому.

Если меньшее основание равно 7, то прилежащие отрезки равны 4. Большее основание = 7 + 4 + 4 = 15.

Если меньшее основание равно 4, то прилежащие отрезки равны 7. Большее основание = 4 + 7 + 7 = 18.

В условии сказано, что высота делит большее основание на отрезки 4 и 7. Это означает, что меньшее основание равно одному из этих чисел, а прилежащие отрезки равны другому. Следовательно, меньшее основание равно либо 4, либо 7.

Ответ: 7.