10. В треугольнике АВС АН – биссектриса, поэтому AB/BH = AC/CH.

Решение:

По теореме о биссектрисе треугольника, биссектриса угла треугольника делит противоположную сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам. То есть, если AH - биссектриса \( \angle BAC \) в треугольнике ABC, то \( \frac{AB}{AC} = \frac{BH}{CH} \).

Утверждение в задании \( \frac{AB}{BH} = \frac{AC}{CH} \) является следствием этого, если его преобразовать: \( AB \cdot CH = AC \cdot BH \).

Из теоремы о биссектрисе: \( AB \cdot CH = AC \cdot BH \).

Разделив обе части на \( BH \cdot CH \), получим: \( \frac{AB \cdot CH}{BH \cdot CH} = \frac{AC \cdot BH}{BH \cdot CH} \) \( \Rightarrow \frac{AB}{BH} = \frac{AC}{CH} \).

Верно.