10. В группе учится 25 студентов, из них 15 человек сдали зачёт по экономике и 15 сдали зачёт о английскому языку. Выберите утверждения, которые верны при указанных условиях, и запишите в ответе их номера без пробелов, запятых или других дополнительных символов. 1) В этой групше найдётся 11 студентов, не сдавших ни одного из этих двух зачётов. 2) Хотя бы 5 студентов из этой группы сдали зачёты и по экономике, и по английскому языку. 3) Меньше 16 студентов из этой группы сдали зачёты и по экономике, и по английскому языку. 4) В этой групже найдётся 15 студентов, которые не сдали зачёт по английскому языку, но сдали зачёт по экономике.

Решение:

Всего студентов: 25.
Сдали экономику: 15.
Сдали английский: 15.

Обозначим:

• \( E \) — множество студентов, сдавших экономику.
• \( A \) — множество студентов, сдавших английский язык.
• \( |E| = 15 \), \( |A| = 15 \), \( |E \cup A| \le 25 \)

По формуле включения-исключения:

\( |E \cup A| = |E| + |A| - |E \cap A| \)

\( |E ∩ A| = |E| + |A| - |E ∪ A| \)

Чтобы найти минимальное число студентов, сдавших оба предмета (\( |E ∩ A| \)), нужно взять максимальное значение \( |E ∪ A| \), которое равно общему числу студентов (25).

\( |E ∩ A|_{min} = 15 + 15 - 25 = 5 \)

Чтобы найти максимальное число студентов, сдавших оба предмета (\( |E ∩ A| \)), нужно взять минимальное значение \( |E ∪ A| \). Минимально возможное число студентов, сдавших хотя бы один предмет, равно числу сдавших большее количество предметов, то есть 15.

\( |E ∩ A|_{max} = 15 + 15 - 15 = 15 \)

Таким образом, число студентов, сдавших оба предмета, находится в диапазоне от 5 до 15: \( 5 \le |E ∩ A| ≤ 15 \).

Проверим утверждения:

1. Неверно. Минимальное число студентов, не сдавших ни одного зачёта: \( 25 - |E ∪ A|_{max} = 25 - 15 = 10 \).
2. Верно. Минимум 5 студентов сдали оба зачёта.
3. Верно. Максимум 15 студентов сдали оба зачёта, что меньше 16.
4. Невозможно определить однозначно. Может быть 15 студентов, сдавших экономику, но не английский, если \( |E ∩ A| = 0 \). Но мы знаем, что \( |E ∩ A| ≥ 5 \). Если \( |E ∩ A| = 5 \), то 10 студентов сдали только экономику. Если \( |E ∩ A| = 15 \), то 0 студентов сдали только экономику.

Ответ: 23