10. Ученик измеряет коэффициент жесткости пружины. Удлинение пружины составляет x = 20 мм при приложенной силе F = 27 Н. 1. Рассчитайте коэффициент жесткости пружины k. 2. Рассчитайте абсолютную погрешность Δk коэффициента жесткости пружины, если абсолютная погрешность измерения расстояния составляет 1 мм, а абсолютная погрешность измерения силы – 1 Н. Кратко поясните вычисления. 3. Можно ли с учетом погрешностей величин считать, что жесткость пружины меньше 1400 Н/м? Свой ответ обоснуйте.

Дано:

• Удлинение пружины: x = 20 мм = 0.02 м
• Приложенная сила: F = 27 Н
• Погрешность измерения расстояния: Δx = 1 мм = 0.001 м
• Погрешность измерения силы: ΔF = 1 Н

1. Расчет коэффициента жесткости пружины (k):

Используем закон Гука: F = k * x

Отсюда, k = F / x

\[ k = \frac{27 \text{ Н}}{0.02 \text{ м}} = 1350 \text{ Н/м} \]

2. Расчет абсолютной погрешности Δk:

Для расчета погрешности будем использовать относительные погрешности:

\[ \frac{\Delta k}{k} = \sqrt{\left(\frac{\Delta F}{F}\right)^2 + \left(\frac{\Delta x}{x}\right)^2} \]

Сначала найдем относительные погрешности измерения силы и удлинения:

\[ \frac{\Delta F}{F} = \frac{1 \text{ Н}}{27 \text{ Н}} \approx 0.037 \]

\[ \frac{\Delta x}{x} = \frac{0.001 \text{ м}}{0.02 \text{ м}} = 0.05 \]

Теперь найдем относительную погрешность коэффициента жесткости:

\[ \frac{\Delta k}{k} = \sqrt{(0.037)^2 + (0.05)^2} = \sqrt{0.001369 + 0.0025} = \sqrt{0.003869} \approx 0.062 \]

Теперь найдем абсолютную погрешность Δk:

\[ \Delta k = k \times \frac{\Delta k}{k} = 1350 \text{ Н/м} \times 0.062 \approx 83.7 \text{ Н/м} \]

Пояснение: При расчете погрешности коэффициента жесткости учитываются погрешности измерения силы и удлинения. Мы использовали метод сложения относительных погрешностей (в данном случае, корневое сложение квадратов относительных погрешностей, что является более точным методом). Полученное значение Δk показывает, насколько точно мы определили коэффициент жесткости.

3. Обоснование:

Рассчитанный коэффициент жесткости с учетом погрешности находится в интервале:

\[ k \pm \Delta k = 1350 \text{ Н/м} \pm 83.7 \text{ Н/м} \]

Это означает, что истинное значение жесткости лежит в пределах от:

\[ 1350 - 83.7 = 1266.3 \text{ Н/м} \]

до

\[ 1350 + 83.7 = 1433.7 \text{ Н/м} \]

Вывод: Так как нижняя граница интервала (1266.3 Н/м) меньше 1400 Н/м, а верхняя граница (1433.7 Н/м) больше 1400 Н/м, мы не можем с полной уверенностью утверждать, что жесткость пружины меньше 1400 Н/м. Есть вероятность, что истинное значение жесткости больше 1400 Н/м.

Ответ:

1. 1350 Н/м
2. Δk ≈ 83.7 Н/м. Пояснение: абсолютная погрешность получена путем расчета относительной погрешности, учитывающей погрешности измерения силы и удлинения.
3. Нет, не можем. Расчетный интервал жесткости (1266.3 - 1433.7 Н/м) включает значения как меньше, так и больше 1400 Н/м.