10. Точка D на стороне АВ треугольника АВС выбрана так, что AD=AC. Известно, что ∠CAB=38° и ∠ACB=74°. Найдите ∠DCB. Ответ дайте в градусах.

Решение:

В треугольнике ABC известно, что \( \angle CAB = 38^{\circ} \) и \( \angle ACB = 74^{\circ} \).

Найдем \( \angle ABC \): \( \angle ABC = 180^{\circ} - \angle CAB - \angle ACB = 180^{\circ} - 38^{\circ} - 74^{\circ} = 68^{\circ} \).

Точка D выбрана на стороне AB так, что \( AD = AC \). Это означает, что треугольник ADC — равнобедренный.

В равнобедренном треугольнике ADC углы при основании равны: \( \angle ADC = \angle ACD \).

Сумма углов в треугольнике ADC: \( \angle CAD + \angle ADC + \angle ACD = 180^{\circ} \).

\( \angle CAD \) — это тот же угол \( \angle CAB \), то есть \( 38^{\circ} \).

\( 38^{\circ} + 2 \cdot \angle ACD = 180^{\circ} \)

\( 2 \cdot \angle ACD = 180^{\circ} - 38^{\circ} = 142^{\circ} \)

\( \angle ACD = \frac{142^{\circ}}{2} = 71^{\circ} \).

Мы знаем, что \( \angle ACB = 74^{\circ} \) и \( \angle ACD = 71^{\circ} \). Угол \( \angle DCB \) является частью \( \angle ACB \).

\( \angle DCB = \angle ACB - \angle ACD = 74^{\circ} - 71^{\circ} = 3^{\circ} \).

Ответ: 3