10. Тип 9.1 № 12311 Из пункта А в направлении пункта Б, расстояние между которыми равно 200 км, в 9 часов утра выехал велосипе- дист, а через некоторое время из пункта А в том же направлении выехал автомобиль. Доехав до пункта Б, водитель авто- мобиля сделал остановку на 3 часа, а затем с той же скоростью поехал обратно. На рисунке график движения велосипедиста обозначен цифрой 1, график движения автомобиля обозначен цифрой 2 и приведён только на пути из А в Б. По горизонтали указано время, а по вертикали — расстояние до пункта Б. Сколько часов понадобилось автомобилю, чтобы догнать велосипедиста?

Решение:

1. Определим скорость велосипедиста (график 1).
Велосипедист проехал 200 км за 10 часов (от 0 до 10 часов на горизонтальной оси). Скорость велосипедиста: \( v_1 = \frac{200 \text{ км}}{10 \text{ ч}} = 20 \text{ км/ч} \).

2. Определим время, когда автомобиль начал движение.
Автомобиль выехал позже велосипедиста. График 2 начинается в точке, где время равно 5 часам, а расстояние — 0 км (пункт А). Значит, автомобиль выехал через 5 часов после велосипедиста.

3. Определим скорость автомобиля.
Автомобиль доехал до пункта Б (200 км) за 5 часов (от 5 до 10 часов на горизонтальной оси). Скорость автомобиля: \( v_2 = \frac{200 \text{ км}}{5 \text{ ч}} = 40 \text{ км/ч} \).

4. Определим время, когда автомобиль догнал велосипедиста.
Автомобиль догоняет велосипедиста, когда они находятся на одинаковом расстоянии от пункта А. Это происходит в точке пересечения графиков 1 и 2. График 2 пересекает график 1 в точке, где время примерно 8,33 часа (или 8 часов 20 минут), а расстояние — примерно 166,67 км. Однако, обратим внимание на график 2. Он начинается в точке (5, 0) и идет до точки (10, 200). Это означает, что автомобиль выехал из А в 9:00 (по условию) и доехал до Б в 14:00 (5 часов спустя). В это время велосипедист был на расстоянии \( 20 \text{ км/ч} \times (14:00 - 9:00) = 20 \text{ км/ч} \times 5 \text{ ч} = 100 \text{ км} \).

5. Корректируем данные на основе текста и графика.
По условию, велосипедист выехал в 9 утра. Автомобиль выехал позже. На графике, график 1 (велосипедист) начинается в (0,0). График 2 (автомобиль) начинается в (5,0), что означает, что автомобиль выехал через 5 часов после велосипедиста, т.е. в 9:00 + 5 часов = 14:00. Велосипедист к этому времени проехал \( 20 \text{ км/ч} \times 5 \text{ ч} = 100 \text{ км} \). Автомобиль достиг пункта Б (200 км) в 19:00 (14:00 + 5 часов). Велосипедист достиг Б в 19:00. Автомобиль ехал со скоростью 40 км/ч. В 19:00 велосипедист находился на расстоянии \( 20 \text{ км/ч} \times (19:00 - 9:00) = 20 \text{ км/ч} \times 10 \text{ ч} = 200 \text{ км} \). Автомобиль догнал велосипедиста, когда они встретились на обратном пути. Это происходит на графике 2, где автомобиль начинает движение обратно.
По условию, автомобиль доехал до пункта Б, сделал остановку на 3 часа, а затем поехал обратно. На графике 2 видно, что автомобиль достиг пункта Б (200 км) в 19:00. Он остановился на 3 часа, до 22:00. Затем поехал обратно со скоростью 40 км/ч. Велосипедист продолжает ехать. В 22:00 велосипедист находился на расстоянии \( 20 \text{ км/ч} \times (22:00 - 9:00) = 20 \text{ км/ч} \times 13 \text{ ч} = 260 \text{ км} \) от А, что больше 200 км, то есть он уже проехал пункт Б.
Перечитаем условие: "На рисунке график движения велосипедиста обозначен цифрой 1, график движения автомобиля обозначен цифрой 2 и приведён только на пути из А в Б." Это означает, что график 2 на рисунке показывает только движение автомобиля до пункта Б.

Давайте разберемся с графиком 2.
График 2 начинается в точке (5, 0) и заканчивается в точке (10, 200). Это означает, что автомобиль выехал в момент времени t=5 (что соответствует 14:00, если велосипедист выехал в 9:00) и доехал до пункта Б (200 км) в момент времени t=10 (что соответствует 19:00).
Скорость автомобиля: \( v_{авто} = \frac{200 \text{ км}}{10 - 5 \text{ ч}} = \frac{200 \text{ км}}{5 \text{ ч}} = 40 \text{ км/ч} \).
Скорость велосипедиста: \( v_{вел} = \frac{200 \text{ км}}{10 \text{ ч}} = 20 \text{ км/ч} \) (велосипедист добрался до Б в момент времени t=10).

Когда автомобиль догнал велосипедиста?
Автомобиль выехал в 14:00 (t=5). В это время велосипедист проехал \( 20 \text{ км/ч} \times 5 \text{ ч} = 100 \text{ км} \).
Пусть \( t \) — время в часах с момента выезда автомобиля (т.е. с 14:00).
Расстояние автомобиля от А: \( S_{авто}(t) = 40t \).
Расстояние велосипедиста от А: \( S_{вел}(t) = 100 + 20t \).
Автомобиль догнал велосипедиста, когда \( S_{авто}(t) = S_{вел}(t) \).
\( 40t = 100 + 20t \)
\( 20t = 100 \)
\( t = 5 \) часов.

Это время с момента выезда автомобиля. Автомобиль выехал в 14:00. Значит, он догнал велосипедиста в 14:00 + 5 часов = 19:00.

Вопрос: Сколько часов понадобилось автомобилю, чтобы догнать велосипедиста?
Автомобиль выехал в 14:00 и догнал в 19:00. Это заняло 5 часов.

Проверим по графику. График 2 идет от (5,0) до (10,200). График 1 идет от (0,0) до (10,200). На отрезке от t=5 до t=10, автомобиль едет быстрее велосипедиста. Пересечение графиков на отрезке t=5 до t=10.

Уравнение для велосипедиста: \( S_1(t) = 20t \) (для \( t > 0 \)).
Уравнение для автомобиля: \( S_2(t) = 40(t-5) \) (для \( t > 5 \)).
Приравниваем: \( 20t = 40(t-5) \)
\( 20t = 40t - 200 \)
\( 20t = 200 \)
\( t = 10 \) часов.

Это время с момента выезда велосипедиста. Автомобиль догнал велосипедиста в момент времени t=10 часов. Автомобиль выехал в t=5 часов. Значит, он ехал 10 - 5 = 5 часов.

По условию, автомобиль сделал остановку на 3 часа. Но это произошло ПОСЛЕ того, как он доехал до пункта Б. Нас интересует время, чтобы ДОГНАТЬ, а не время возвращения.

Таким образом, автомобиль ехал 5 часов, чтобы догнать велосипедиста. Время от выезда автомобиля до момента, когда он догнал велосипедиста, составило 5 часов. В 19:00 автомобиль догнал велосипедиста, оба находились на расстоянии 200 км от пункта А.

Ответ: 5 часов.