10. Теплоход проходит по течению реки до пункта назначения 200 км и после стоянки возвращается в пункт отправления. Найдите скорость течения, если скорость теплохода в неподвижной воде равна 15 км/ч, стоянка длится 10 часов, а в пункт отправления теплоход возвращается через 40 часов после отплытия из него. Ответ дайте в км/ч.

Решение:

Обозначим скорость течения реки как \( v \) км/ч.

Скорость теплохода по течению: \( 15 + v \) км/ч.

Скорость теплохода против течения: \( 15 - v \) км/ч.

Время движения по течению до пункта назначения: \( t_1 = \frac{200}{15 + v} \) часов.

Время движения против течения от пункта назначения до отправления: \( t_2 = \frac{200}{15 - v} \) часов.

Общее время в пути, включая стоянку, составляет 40 часов. Стоянка длится 10 часов. Следовательно, время движения теплохода равно \( 40 - 10 = 30 \) часов.

Составим уравнение:

\( t_1 + t_2 = 30 \)

\( \frac{200}{15 + v} + \frac{200}{15 - v} = 30 \)

Разделим обе части уравнения на 10:

\( \frac{20}{15 + v} + \frac{20}{15 - v} = 3 \)

Приведём к общему знаменателю:

\( \frac{20(15 - v) + 20(15 + v)}{(15 + v)(15 - v)} = 3 \)

\( \frac{300 - 20v + 300 + 20v}{15^2 - v^2} = 3 \)

\( \frac{600}{225 - v^2} = 3 \)

\( 600 = 3(225 - v^2) \)

\( 600 = 675 - 3v^2 \)

\( 3v^2 = 675 - 600 \)

\( 3v^2 = 75 \)

\( v^2 = \frac{75}{3} \)

\( v^2 = 25 \)

\( v = \sqrt{25} \)

\( v = 5 \) км/ч.

Проверка условия: скорость течения \( v \) должна быть меньше скорости теплохода в неподвижной воде, чтобы теплоход мог двигаться против течения. \( 5 < 15 \), что верно.

Время в пути по течению: \( \frac{200}{15 + 5} = \frac{200}{20} = 10 \) часов.

Время в пути против течения: \( \frac{200}{15 - 5} = \frac{200}{10} = 20 \) часов.

Общее время движения: \( 10 + 20 = 30 \) часов.

Общее время с учётом стоянки: \( 30 + 10 = 40 \) часов, что соответствует условию задачи.

Ответ: 5 км/ч.