10. Случайна величина Х задана функцией распределения F(x) =={ 0 при х<-1, 1 9 (x+1)² при -1≤x≤2, 1 при х>2. Найти: 1) вероятность P(0 < X <1); 2) плотность вероятности f(x); 3) математическое ожидание М(Х) и дисперсию D(X); 4) построить графики функций f(x) и F(x).

1) Вероятность P(0 < X < 1):

Поскольку интервал \(0 < X < 1\) находится внутри интервала \(-1 ≤ x ≤ 2\), используем формулу распределения вероятностей для этого интервала.

\( P(0 < X < 1) = F(1) - F(0) \)

Сначала найдем значение \(F(1)\):

\( F(1) = \frac{1}{9}(1+1)^2 = \frac{1}{9}(2)^2 = \frac{4}{9} \)

Теперь найдем значение \(F(0)\):

\( F(0) = \frac{1}{9}(0+1)^2 = \frac{1}{9}(1)^2 = \frac{1}{9} \)

Подставляем найденные значения в формулу вероятности:

\( P(0 < X < 1) = \frac{4}{9} - \frac{1}{9} = \frac{3}{9} = \frac{1}{3} \)

Ответ: \( \frac{1}{3} \)

2) Плотность вероятности f(x):

Плотность вероятности \(f(x)\) является производной от функции распределения \(F(x)\).

Для \(x < -1\):

\( F(x) = 0 \)

\( f(x) = \frac{d}{dx}(0) = 0 \)

Для \(-1 ≤ x ≤ 2\):

\( F(x) = \frac{1}{9}(x+1)^2 \)

\( f(x) = \frac{d}{dx}\left(\frac{1}{9}(x+1)^2\right) = \frac{1}{9} * 2(x+1) * 1 = \frac{2}{9}(x+1) \)

Для \(x > 2\):

\( F(x) = 1 \)

\( f(x) = \frac{d}{dx}(1) = 0 \)

Итак, плотность вероятности имеет вид:

\( f(x) = \begin{cases} \frac{2}{9}(x+1), & \text{при } -1 ≤ x ≤ 2 \\ 0, & \text{в остальных случаях} \end{cases} \)

Ответ: \( f(x) = \begin{cases} \frac{2}{9}(x+1), & \text{при } -1 ≤ x ≤ 2 \\ 0, & \text{в остальных случаях} \end{cases} \)

3) Математическое ожидание М(Х) и дисперсию D(X):

Математическое ожидание \(M(X)\) вычисляется по формуле:

\( M(X) = ∫_{-∞}^{+∞} x * f(x) dx \)

Подставляем нашу функцию плотности вероятности:

\( M(X) = ∫_{-1}^{2} x * \frac{2}{9}(x+1) dx \)

\( M(X) = \frac{2}{9} ∫_{-1}^{2} (x^2+x) dx \)

\( M(X) = \frac{2}{9} \left[ \frac{x^3}{3} + \frac{x^2}{2} \right]_{-1}^{2} \)

\( M(X) = \frac{2}{9} \left( \left( \frac{2^3}{3} + \frac{2^2}{2} \right) - \left( \frac{(-1)^3}{3} + \frac{(-1)^2}{2} \right) \right) \)

\( M(X) = \frac{2}{9} \left( \left( \frac{8}{3} + 2 \right) - \left( -\frac{1}{3} + \frac{1}{2} \right) \right) \)

\( M(X) = \frac{2}{9} \left( \frac{14}{3} - \left( \frac{-2+3}{6} \right) \right) \)

\( M(X) = \frac{2}{9} \left( \frac{14}{3} - \frac{1}{6} \right) = \frac{2}{9} \left( \frac{28-1}{6} \right) = \frac{2}{9} * \frac{27}{6} = \frac{2 * 3}{6} = 1 \)

Дисперсия \(D(X)\) вычисляется по формуле:

\( D(X) = M(X^2) - (M(X))^2 \)

Сначала найдем \(M(X^2)\):

\( M(X^2) = ∫_{-∞}^{+∞} x^2 * f(x) dx \)

\( M(X^2) = ∫_{-1}^{2} x^2 * \frac{2}{9}(x+1) dx \)

\( M(X^2) = \frac{2}{9} ∫_{-1}^{2} (x^3+x^2) dx \)

\( M(X^2) = \frac{2}{9} \left[ \frac{x^4}{4} + \frac{x^3}{3} \right]_{-1}^{2} \)

\( M(X^2) = \frac{2}{9} \left( \left( \frac{2^4}{4} + \frac{2^3}{3} \right) - \left( \frac{(-1)^4}{4} + \frac{(-1)^3}{3} \right) \right) \)

\( M(X^2) = \frac{2}{9} \left( \left( \frac{16}{4} + \frac{8}{3} \right) - \left( \frac{1}{4} - \frac{1}{3} \right) \right) \)

\( M(X^2) = \frac{2}{9} \left( \left( 4 + \frac{8}{3} \right) - \left( \frac{3-4}{12} \right) \right) \)

\( M(X^2) = \frac{2}{9} \left( \frac{12+8}{3} - \left( -\frac{1}{12} \right) \right) = \frac{2}{9} \left( \frac{20}{3} + \frac{1}{12} \right) \)

\( M(X^2) = \frac{2}{9} \left( \frac{80+1}{12} \right) = \frac{2}{9} * \frac{81}{12} = \frac{2 * 9}{12} = \frac{18}{12} = \frac{3}{2} \)

Теперь найдем дисперсию:

\( D(X) = M(X^2) - (M(X))^2 = \frac{3}{2} - (1)^2 = \frac{3}{2} - 1 = \frac{1}{2} \)

Ответ: \( M(X) = 1 \), \( D(X) = \frac{1}{2} \)

4) Построить графики функций f(x) и F(x):

График функции распределения F(x):

График функции плотности вероятности f(x):