10. Прямые т и п параллельны. Найдите \(\angle\) 3, если \(\angle\) 1 = 56^{\(\circ\)}, \(\angle\) 2 = 49^{\(\circ\)}. Ответ дайте в градусах.

Решение:

Проведём прямую \( m \) через вершину угла \( \angle 2 \), параллельную прямым \( т \) и \( п \).

1. Угол \( \angle 1 = 56^{\circ} \). Так как \( т \parallel п \), то накрест лежащий угол при секущей равен \( 56^{\circ} \).
2. Угол \( \angle 2 = 49^{\circ} \). Этот угол делится на две части прямой \( m \).
3. Верхняя часть угла \( \angle 2 \) (вместе с \( \angle 1 \)) образуют накрест лежащие углы, значит, она равна \( 49^{\circ} \).
4. Угол \( \angle 3 \) равен сумме двух углов: \( \angle 3 = \angle 1 + \text{часть } \angle 2 \) (при условии, что \( m \) проведена так, что \( \angle 3 \) равен сумме двух углов).
5. Однако, исходя из рисунка, \( \angle 1 \) и \( \angle 2 \) являются частями углов, образуемых секущими и параллельными прямыми.
6. Рассмотрим пересечение прямой \( т \) с секущей, образующей \( \angle 1 \). Если \( т \parallel п \), то \( \angle 1 \) и соответствующий ему угол на нижней прямой равны \( 56^{\circ} \).
7. Рассмотрим пересечение прямой \( п \) с секущей, образующей \( \angle 2 \). Если \( т \parallel п \), то \( \angle 2 \) и соответствующий ему угол на верхней прямой равны \( 49^{\circ} \).
8. Угол \( \angle 3 \) является внешним углом для треугольника, образованного пересечением трёх прямых.
9. Чтобы найти \( \angle 3 \), проведём через вершину угла \( \angle 3 \) (точку пересечения прямой \( \angle 1 \) и \( \angle 2 \) с прямой \( п \)) прямую, параллельную \( т \) и \( п \).
10. Пусть эта прямая делит \( \angle 3 \) на \( \alpha \) и \( \beta \). Тогда \( \alpha \) — накрест лежащий с \( \angle 1 \), значит \( \alpha = 56^{\circ} \).
11. \( \beta \) — накрест лежащий с \( \angle 2 \), значит \( \beta = 49^{\circ} \).
12. \( \angle 3 = \alpha + \beta = 56^{\circ} + 49^{\circ} = 105^{\circ} \).

Ответ: 105.