10. Прямая, параллельная стороне АС треугольника АВС, пересекает стороны АВ и ВС в точках М и N соответственно. AB=54, AC=48, MN=40. Найдите АМ.

Решение:

По условию, прямая MN параллельна стороне AC треугольника ABC. Это означает, что треугольник MBN подобен треугольнику ABC (по двум углам: угол B — общий, углы BMN и BAC равны как соответственные при параллельных прямых MN и AC и секущей AB).

Из подобия треугольников следует пропорциональность их сторон:

\( \frac{BM}{BA} = \frac{BN}{BC} = \frac{MN}{AC} \)

Нам даны:

• \( AB = 54 \)
• \( AC = 48 \)
• \( MN = 40 \)

Найдем отношение подобия по известной стороне MN и AC:

\( k = \frac{MN}{AC} = \frac{40}{48} = \frac{5}{6} \)

Теперь используем это отношение для нахождения BM:

\( \frac{BM}{BA} = k \)

\( \frac{BM}{54} = \frac{5}{6} \)

Выразим BM:

\( BM = 54 \times \frac{5}{6} = 9 \times 5 = 45 \)

Нас просят найти длину отрезка AM. AM является частью стороны AB. Поэтому:

\( AM = AB - BM \)

\( AM = 54 - 45 = 9 \)

Ответ: 9