10. Постройте график функции и определите, при каких значениях с прямая y = с имеет с графиком ровно две общие точки. y= { 2x+1, если x < 0, -1,5x+1, если 0 ≤ x < 2, x-4, если x > 2

Решение:

Чтобы решить задачу, сначала построим график заданной функции. Функция задана кусочно:

1. При \( x < 0 \): \( y = 2x + 1 \). Это линейная функция. Построим точку при \( x = 0 \): \( y = 2(0) + 1 = 1 \). Точка \( (0, 1) \) — граничная, но не включается в эту часть графика. Возьмем \( x = -1 \): \( y = 2(-1) + 1 = -1 \). Наносим точки \( (-1, -1) \) и \( (0, 1) \) (пунктиром, т.к. \( x=0 \) не входит).
2. При \( 0 \le x < 2 \): \( y = -1,5x + 1 \). Это линейная функция. Построим точки на границах интервала. При \( x = 0 \): \( y = -1,5(0) + 1 = 1 \). Точка \( (0, 1) \) включается в график. При \( x = 2 \): \( y = -1,5(2) + 1 = -3 + 1 = -2 \). Точка \( (2, -2) \) — граничная, но не включается. Наносим точки \( (0, 1) \) (жирной точкой) и \( (2, -2) \) (пунктиром).
3. При \( x > 2 \): \( y = x - 4 \). Это линейная функция. Построим точку при \( x = 2 \): \( y = 2 - 4 = -2 \). Точка \( (2, -2) \) — граничная, но не включается. Возьмем \( x = 3 \): \( y = 3 - 4 = -1 \). Наносим точки \( (2, -2) \) (пунктиром) и \( (3, -1) \).

Теперь построим сам график, соединив полученные точки согласно интервалам.

Прямая \( y = c \) — это горизонтальная прямая, параллельная оси абсцисс. Нам нужно найти такие значения \( c \), при которых эта прямая будет иметь ровно две общие точки с графиком функции.

Рассмотрим, как горизонтальная прямая пересекает каждую часть графика:

• Часть графика \( y = 2x + 1 \) при \( x < 0 \) — это луч, выходящий из \( (0, 1) \) (не включая ее) и идущий вверх влево. Его значения \( y \) стремятся к \( 1 \) (не включая) при \( x \) стремящемся к \( 0 \) и уходят в \( -∞ \) при \( x \) уходящем в \( -∞ \).
• Часть графика \( y = -1,5x + 1 \) при \( 0 \le x < 2 \) — это отрезок, соединяющий точки \( (0, 1) \) (включая) и \( (2, -2) \) (не включая). Значения \( y \) на этом отрезке меняются от \( 1 \) до \( -2 \) (не включая \( -2 \)).
• Часть графика \( y = x - 4 \) при \( x > 2 \) — это луч, выходящий из \( (2, -2) \) (не включая ее) и идущий вверх вправо. Его значения \( y \) стремятся к \( -2 \) (не включая) при \( x \) стремящемся к \( 2 \) и уходят в \( +∞ \) при \( x \) уходящем в \( +∞ \).

Теперь определим, при каких \( c \) будет ровно два пересечения:

• Если \( c = 1 \), то прямая \( y = 1 \) пересекает график в одной точке \( (0, 1) \).
• Если \( c \) находится между \( -2 \) (не включая) и \( 1 \) (не включая), то прямая \( y = c \) пересечет вторую часть графика (отрезок) в одной точке и третью часть графика (луч) в одной точке. Таким образом, будет два пересечения. Это диапазон \( -2 < c < 1 \).
• Если \( c = -2 \), то прямая \( y = -2 \) пересекает график в точке \( (2, -2) \) (которая не включается во вторую и третью части графика) и в одной точке на третьем луче. Таким образом, будет одно пересечение.
• Если \( c < -2 \), то прямая \( y = c \) пересекает третью часть графика (луч) в одной точке.
• Если \( c > 1 \), то прямая \( y = c \) пересекает первую часть графика (луч) в одной точке.

Следовательно, прямая \( y = c \) имеет с графиком ровно две общие точки, когда \( c \) находится в интервале \( (-2, 1) \).

Ответ: прямая \( y = c \) имеет с графиком ровно две общие точки при \( c ∈ (-2; 1) \).