10 Первый и второй насосы наполняют бассейн за 9 минут, второй и третий — за 12 минут, а первый и третий — за 18 минут. За сколько минут эти три насоса заполнят бассейн, работая вместе?

Решение:

Пусть \( V \) — объем бассейна. Обозначим производительность первого насоса как \( x \), второго как \( y \), а третьего как \( z \) (объем в минуту).

Из условия задачи имеем:

1. Первый и второй насосы наполняют бассейн за 9 минут: \( (x + y) \cdot 9 = V \)
2. Второй и третий насосы наполняют бассейн за 12 минут: \( (y + z) \cdot 12 = V \)
3. Первый и третий насосы наполняют бассейн за 18 минут: \( (x + z) \cdot 18 = V \)

Выразим производительность каждой пары насосов через объем бассейна:

• \( x + y = \frac{V}{9} \)
• \( y + z = \frac{V}{12} \)
• \( x + z = \frac{V}{18} \)

Сложим все три уравнения:

\( (x + y) + (y + z) + (x + z) = \frac{V}{9} + \frac{V}{12} + \frac{V}{18} \)

\( 2x + 2y + 2z = V \left( \frac{1}{9} + \frac{1}{12} + \frac{1}{18} \right) \)

\( 2(x + y + z) = V \left( \frac{4}{36} + \frac{3}{36} + \frac{2}{36} \right) \)

\( 2(x + y + z) = V \left( \frac{9}{36} \right) \)

\( 2(x + y + z) = \frac{V}{4} \)

Теперь найдем общую производительность трех насосов:

\( x + y + z = \frac{V}{8} \)

Чтобы найти время, за которое три насоса заполнят бассейн, работая вместе, нужно разделить объем бассейна на их общую производительность:

\( T = \frac{V}{x + y + z} = \frac{V}{\frac{V}{8}} = 8 \) минут.

Ответ: 8 минут.